Mundarija: kirish asosiy qism bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi

Bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi
Biz bu bo’limda o’qining kesmasida ikkinchi tartibli chiziqli
(1)
differensial tenglamani qaraymiz, bu yerda funksiyalar kesmasida uzluksiz funksiyalar.
(2)
funksiyani kiritib,
(3)
ekanligini e’tiborga olamiz.
Tenglikni ga ko’paytirib (bu yerda )


, (4)
tenglamani hosil qilamiz, bu yerda . Biz bilan (4) ning chap qismida joylashan ifodani differensial operator bilan belgiladik.
Yuqorida bajarilgan mulohazalarga asosan umumiylikni cheklamagan holda
ikkinchi tartibli chiziqli tenglama uchun qaralayotgan chegaraviy masalani
o’rganish muammosini (4) tenglama uchun chegaraviy masalani o’rganish muammosiga keltirdik.
(4) tenglama uchun qoida bo’yicha chegaraviy masala
(5) chiziqli chegaraviy shartlar bo’yicha qaraladi, bu yerda berilgan sonlar bo’lib, ularning ba’zilari nolga teng bo’lishi mumkin, shu bilan birga . Shu bilan birga
agar bo’lsa, mos chegaraviy shart - birinchi tur chegaraviy shart;
agar bo’lsa, mos chegaraviy shart –ikkinchi tur chegaraviy shart;
agar bo’lsa, mos chegaraviy shart -uchinchi tur chegaraviy shart deyiladi.
Bir jinsli tenglama uchun bir jinsli chegaraviy shartlar asosida qaralayotgan chegaraviy masala bir jinsli chegaraviy masala deyiladi. Bir jinsli chegaraviy masalalar orasida bir jinsli chegaraviy masalaning aynan noldan farqli yechimi mavjudligini tenglama tarkibiga kiruvchi parametr orqali aniqlash masalasi xos qiymatlar masalasi yoki spectral masala deyiladi.
.

Kelgusida muhum bo’lgan (4) tenglama yechimining ba’zi xossalari ustida to’xtalamiz.

Aytaylik va funksiyalar mos ravishda
(6)
(7) tenglamalarni qanoatlantirsin. (6) tenglamani ga, (7) tenglamani ga
ko’paytirib hosil bo’lgan tengliklarni hadlab ayirsak
(8)
tenglikni hosil qilamiz.

bo’lgani uchun (8) tenglikni
(9) ko’rinishda yozishimiz mumkin. Bu munosabatga Lagrang ayniyati deyiladi.
Bu ayniyatning integral shakli bo’lgan
(10) ifodaga Grin formulasi deyiladi.
(9) Lagranj formulasidan agar ikkita va funksiyalar bir jinsli
( )

tenglamaning chiziqli erkli yechimlari bo’lsa, u holda bu yechimlar
(11)
munosabatni qanoatlantiradi. Bundan bu yechimlarning Vronskiy determinant
(12)
ga teng bo’lishi kelib chiqadi.