Mundarija: kirish asosiy qism bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi

2-lemma. (33) va (34) masalalar faqat ayniy nolga teng yechimga ega.
Masala shartiga ko’ra (33) bir jinsli masalaning barcha yechimlarini ko’rinishda olishimiz mumkin. (39) ortogonallik shartidan

tenglikka ega bo’lamiz. Bundan . Lemma isbotlandi.
2-§. Umumlashgan Grin funksiyasi.

Biz (33), (39) masalaning umumlashgan Grin funksiyasini tuzamiz. (34) bir jinsli masalaning ayniy noldan farqli yechi mavjud bo’lgani uchun, Grin funksiyasini qurish uchun faqat bir jinsli masalaning yechimidan foydalanish yetarli emas. Shuning uchun umumlashgan Grin funksiyasini quyidagi masalaning yechimi sifatida aniqlaymiz:

funksiya va oraliqlarda bir jinsli bo’lmagan
(40)
tenglamani qanoatlantiradi;
2. funksiya ham izlanayotgan funksiya qanoatlantiruvchi chegaraiy artlrni qanoatlantiradi:
(41)
3. funksiya kesmada uzluksiz;
4. nuqtada birinchi tartibli hosila birinchi tur uzulishga ega va bu
nuqtada sakrash miqdori


; (42)
5. funksiya kesmada xos funksiyaga orthogonal:
(43)
Agar dastlabki (33), (39) chegaraviy masalaning yechimi va umumlashgan Grin funksiyasi mavjud bo’lsa, u holda (33), (39) chegaraviy masalaning yechimini umumlashgan Grin funksiyasi orqali (32) ko’rinishida bevosita ifodalash mumkinligini ko’rsatamiz.
Haqiqatdan ham, va funksiyalarga va kesmalarda
(10):
Grin formulasini tadbiq qilish va da limitga o’tish natijasida


(44) tenglikni hosil qilamiz. (42) va (39) shartlarga ko’ra nihoyat
(45) tenglikni hosil qilamiz.
Biz quyida 1-5 shartlar bilan aniqlanuvchi umumlashgan Grin funksiyasini tuzish algoritmini keltiramiz. Shu bilan bu funksiyani qurishning konstruktiv isboti namoyon bo’ladi.

Bir jinsli bo’lmagan

(46) tenglamaning kesmada ixtiyoriy yechimini (masalan (46) tenglamaning , ) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi) tanlaymiz.
yechim bilan birga bu bilan chiziqli bog’liq bo’lmagan bir jinsli (33) tenglamaning, ya’ni
(47) tenglamaning yechimini tanlaymiz. Shu bilan birga yechim shunday normalanganki
(48)
va funksiyalar chiziqli erkli bo’lgani uchun funksiya funksiya bilan bir jinsli shartlarni qanoatlantirmasligi kerak, ya’ni
(49)
Tanlangan xususiy yechim umuman aytganda bir jinsli (41) chegaraviy shartlarni qanoatlantirmasligi mumkin. Ammo va kesmalarda (41) shartlarni qanoatlantirilishi uchun va funksiyalarning chiziqli kombinatsiyalarini olish lozim. Ammo bu holda 3-5 shartlarni qanoatlantirish uchun yetarlicha erkinlik qolmaydi. Shuning uchun yechim bilan chiziqli bog’liq bo’lmagan bir jinsli tenglamaning (41) shartini qanoatlantiruvchi bir jinsli tenglamaning yechimini qo’shish lozim bo’ladi. Shuning uchun umumlashgan Grin funksiyasini
(50)
ko’rinishda quramiz va o’zgarmaslarni shunday tanlaymizki, bunda barcha shartlar bajarilsin. Bunda (41) shart
(52)
shartlarni beradi. (49) ga ko’ra bundan o’zgarmaslar bir qiymatli aniqlanadi.
funksiyaning uzluksizlik va uning hosilasining nuqtada sakrashi
(53) tengliklarni beradi. (48) ga ko’ra bu sistema va o’zgaruvchilarga nisbatan b ir qiymatli yechiladi:
(54)
va ning qiymatlari allaqachon (52) tenglikda topilgan. Bu sonlar (54) ni qanoatlantirishini ko’rsatamiz. va funksiyalarga Grin:
formulasini qo’llab
(55)
tenglikni hosil qilamiz.
Ammo (48) ga ko’ra
(56)
va shu bilan birga (52) ga ko’ra (55) ifoda (54) bilan ustma ust tushuvchi ifodaga o’tadi. Demak, va bir qiymatli aniqlanadi. (54) tenglikdagi o’zgarmasni o’zgarmas orqali ifodalaymiz:
(57)
va (50) tenglikni
(58) ko’rinishda qayta yozamiz. Bu yerda faqat koeffisiyentgina noma’lum qolmoqda.
(58) ni (43) tenglikka qo’yib koeffisiyentni aniqlash uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:
(59)
koeffisiyent koeffisiyent bilan (57) formula orqali bog’langan. Demak umumlashgan Grin funksiyasi qurildi.
Yuqorida bajarilgan ishlardan quyidagi teoremani ifodalashimiz mumkin: