Mundarija: kirish asosiy qism bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi

Teorema. (33) va (43) chegaraviy masalaning bir qiymatli yechilishi uchun (33) tenglamaning o’ng qismi xos funksiyaga orthogonal bo’lishining (37) sharti bajarilishi zarur va yetarli. Shu bilan birga chegaraviy masalaning yechimi

formula o’rinli.
3-§. Shturm –Liuvillning xos qiymatlar masalasi.

Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama uchun shunday parametrning qiymatlarini topish lozimki bunda bir jinsli

(3.1) tenglamaning kesmada bir jinsli
(3.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi aynan noldan farqli yechimi mavjud bo’lsin.
Biz kesmada deb hisoblaymiz, bu yerda
(3.3)
Bu masala adabiyotlarda Shturm-Liuvill masalasi deb nomlanadi. Bu masalani batafsilroq o’rganishga o’tamiz.
Qo’yilgan masalada kesmada musbat va uzluksiz differensiallanuvchi funksiya, va kesmada uzluksiz funksiyalardir.
kesmada uzluksiz differensiallanuvchi , oraliqda ikkinchi tartibgacha hosilaga ega bo’lgan oraliqda tenglamani va chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaga (3.1) ,(3.2) chegaraviy masalaning yechimi deyiladi.
soni masalaning xos qiymati emas deb hisoblaymiz. U holda yuqoridagi paragraflardagidek (3.1),(3.2) masalaning Grin funksiyasi mavjud bo’lib, bu funksiya argumentlariga nisbatansimmetrik bo’ladi. (3.1) tenglamani
(3.4)
ko’rinishda yozib, avvalgi paragrafning teoremasiga binoan
,
yoki
(3.4) tenglamaga ega bo’lamiz.
(3.4) tenglik Fredgolmning ikkinchi tur bir jinsli integral tenglamasidir.
Bizning yuritgan mulohazalarimizdan (3.1), (3.2) chegaraviy masalaning ayniy noldan farqli ixtiyoriy yechimi (3.4) integral tenglamaning ham yechimi bo’lishiga ishonch hosil qilish qiyin emas.
Ikkinchi tomondan (3.4) integral tenglamaning ayniy noldan farqli ixtiyoriy yechimi3.1), (3.2) chegaraviy masalaning yechimi bo’ladi.
Bu bilan dastlabki (3.1),(3.2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi bilan (3.4) integral tenglamaning to’la teng kuchliligi o’rnatildi.
(3.4) integral tenglamani ayniy noldan farqli yechimlarini ta’minlaydigan ning qiymatlariga xos qiymatlar, ularga mos (3.4) integral tenglamaning ayniy noldan farqli yechimiga xos funksiyalar deyiladi. O’rnatilgan tengkuchlilikdan (3.1),(3.2) chegaraviy masala va (3.4) integral tenglama bir xil xos qiymatlarga va bir xil xos funksiyalarga ega ekanligi kelib chiqadi.
Kelgisida bizga lozim bo’lgan bir jinsli ikkinchi tur haqiqiy simmetrik yadroli
(3.4)
(3.5)

Fredgolm tenglamasining bir qator xossalariga isbotsiz to’xtalib o’tamiz.

Agar integral tenglamaning yadrosi

kvadratda uzluksiz va chegaralangan bo’lsa, u holda

1. 
   (3.5) tenglamani qanoatlantiruvchi yadroning hech bo’lmaganda bitta xos qiymat va unga mos xos funksiyasi mavjud;
   
2. 
   Har bir xos qiymatga chekli sondagi chiziqli erkli xos funksiyalar mos keladi. Berilgan xos qiymatga mos chiziqli erkli xos funksiyalar soni uning karraligi yoki rangi deyiladi.(3.4) tenglamaning barcha xos qiymatlarinining absolyut kattaliklarini o’sib boorish tartibida
   

(3.6)
nomerlash mumkin; bu holda (3.6) ketma ketlikda bir xil xos qiymatlar karraligi
marta takrorlanadi;

3. 
   Agar (3.5) tenglamaning xos qiymatlari soni chekli bo’lsa, u holda uning
   

yadrosi aynigan va xos qiymatlari soni cheksiz bo’lsa, u holda uning
yadrosi aynimagan deyiladi;

4. 
   Aynigan yadro uchun xos funksiyalar bilan
   

(3.7)
yoyilma o’rinli;

5. 
   Xos funksiyalar nazariyasida Gilbert-Shmidtning quyidagi teoremasi muhum ahamiyatga ega:
   

Agar kesmada berilgan funksiya uchun
(3.8)
tenglikni qanoatlantiruvchi funksiya mavjud bo’lsa, u holda funksiyani yadroning xos funksiyalari bo’yicha kesmada absolyut va tekis yaqinlashuvchi
(3.9)
qatorga yotish mumkin.
Agar (3.8) o’rinli bo’lsa, u holda funksiya yadro orqali tarixan tasvirlanuvchi deyiladi.
Endi (3.5) integral tenglamalarning berilgan xossalarini (3.1),(3.2) chegaraviy masalaning yechilishini o’rganishga tadbiq qilamiz, chunki biz yuqorida (3.5) integral tenglama (3.1),(3.2) chegaraviy masalaga teng kuchli ekanligini ko’rsatgan edik.
Yuqorida biz Grin funksiyasining o’z argumentlari bo’yicha simmetrikligini ko’rgan edik, ammo (3.5) integral tenglamaning yadrosi umuman aytilganda argumentlariga nisbatan simmetrik emas. Ammo bu yadroni simmetrik ko’rinishga keltirish mumkin.
Buning uchun (3.4) ni ga ko’paytirib va belgilash kiritib,
(3.10)
integral tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaning yadrosi


(3.11)
simmetrikdir. (3.5) integral tenglamala va (3.1),(3.2) chegaraviy masala umumiy xos qiymatlarga ega ekanligi ravshan.
(3.10) integral tenglamaning yadrosi aynimagan ekanligini ko’rsatamiz. Haqiqardan yam, yadro aynigan yadro bo’lsa, u holda (3.1),(3.2) chegaraviy masalaning Grin funksiyasi uchun (3.10) integral tenglamaning chekli sondagi bichiziqli xos funksiyalari bo’yicha
(3.12)
yoyilma mavjud. (3.10) tenglikdan parametrga bog’liq integrallarning xossalaridan xos funksiyalarning kesmada uzluksiz differensiallanuvchi ekanligi kelib chiqadi. U holda ularning chekli sonda tuzilgan chiziqli kombinatsiyasi ham kesmada uzluksiz differensiallanuvchi bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa ziddiyat, chunki
Grin funksiyasining hosilasi nuqtada
(19) : ko’rinishdagi sakrashga ega. Bundan (3.1),(3.2) chegaraviy masalalar xos qiymatlarining quyidagi muhum xossalari kelib chiqadi:

1. 
   (3.1),(3.2) chegaraviy masalaning cheksiz (sanoqli) sondagi xos qiymatlarining
   

(3.13) to’plamiga mos cheksiz sondagi xos funksiyalar ketma ketligi mos keladi;

2. 
   Har bir xos qiymat birga teng rangga ega.
   

Haqiqatdan ham, agar ikkita chiziqli bog’liq bo’lmagan va xos funksiyalar mavjud bo’lsin. U holda (3.2) dan

Bundan Vronskiy determinanti

bo’lgani uchun va xos funksiyalar chiziqli bog’liq bo’ladi.