Mundarija: kirish asosiy qism bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi

Eslatma. O’ta murakkab ko’rinishdagi chegaraviy shartlar uchun xos qiymatlarning rangi 2 ga teng bo’lishi mumkin, ammo 2 dan katta bo’la olmaydi chunki qaralayotgan tenglama ikkinchi tartibli. Xos qiymatlarning rangi 2 ga teng bo’lishi xususiy holda davriy chegaraviy shartlar berilganda uchrashishi mumkin.
Misol keltiramiz:
(3.14)
chegaraviy masalaning xos qiymatlari bo’lib, unga ikkita chiziqli erkli
va
xos funksiyalar mos kelishini ko’rsatish qiyin emas.
3.Steklov teoremasi. Agar funksiya kesmada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi va bir jinsli (3.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsa, u holda bu funksiya kesmada(3.1),(3.2) chegaraviy masalaning xos funksiyalari bo’yicha absolyut va tekis yaqinlashuvch qatorga yoyilishi mumkin.
funksiya ikkinchi tartibli hosilaga ega bo’lgani uchun, u hoda bu funksiyaga differensial operatorni qo’llab
(3.15)
tenglamani hosil qilamiz, bu yerda uzluksiz funksiya. (3.15) , (3.2) masalaning avvalgi yechimiga ko’ra funksiya Grin funksiyasi yordamida
(3.16) ko’rinishda tasvirlanadi. Bundan Gilbert Shmidt teoremasiga ko’ra quydagi
(3.17)
qator yoyilmaga ega bo’lamiz. va bu qator funksiyaga kesmada absolyut uzluksiz va tekis yaqinlashadi.
4. xos funksiyalari ketma ketligi kesmada yuk bilan orthogonal sistemani tashkil qiladi:
(3.18)
Har bir xos qiymatga ikkitadan ortiq xos funksiya mos kelmaganligi uchun, ularni ortogonallashtirish qiyin emas. Endi turli xos qiymatlarga turli va xos funksiyalar mos kelgan holni qarash qoldi.
Bu xos funksiyalarni


, (3.19)
, (3.20) ko’rinishda yozib Grin formulasini tadbiq qilsak,
(3.21)
Bu ifodaga bir jinsli chegaraviy sharlarni qo’yish bu shartni nolga aylantiradi, chunki va xos funksiyalar bir jinsli (3.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. bo’lgani uchun bizning kiritgan tasdig’imiz o’rinli. (3.17) qator tekis yaqinlashuvchi bo’lgani uchun xos funksiyalarning ortogonallik xossasidan foydalanish (3.17) yoyilmadagi koeffisiyentlarni aniqlash imkoniyatini beradi. Haqiqatdan ham, (3.17) yoyilmani ga ko’paytirib kesmada hadlab integrallash bilan (3.18) tenglika asosan
(3.22)
munosabatni beradi. (3.22) maxrajida joylashgan ifodaga xos funksiya normasining kvadrati deyiladi va
(3.23)
kabi belgilanadi. Xos funksiyalar o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligida aniqlanganligi uchun, ko’p hollarda ularni shunday normallashtiriladiki, bunda tenglik bajariladi. Bu holda xos funksiyalar sistemasi ortonormal sistema bo’ladi.
Eslatma. Agar funksiyaga kesmada absolyut uzluksiz bo’lsa, u holda koeffisiyentlari (3.22) tenglik bilan aniqlangan

qator kesmada funksiyaga o’rta ma’noda yaqinlashuvchi, ya’ni
(3.24)
bo’ladi. Bu tasdiq funksiyaga kesmada Steklov teoremasini qanoatlantiruvchi funksiya bilan o’rta ma’noda aproksimatsiya qilish nmumkinligidan kelib chiqadi.
5.birinchi tur

chegaraviy shartlar uchun bajarilganda (3.1),(3.2) chegaraviy masalaning barcha xos qiymatlari musbat: .
xos funksiya uchun
(3.25) tenglamani xos funksiyaga ko’paytirib hosil bo’lgan natijani kesmada integrallaymiz va
(3.26)
Birinchi integralni bo’laklab integrallab, chegaraviy shartlarni e’tiborga olib


(3.27) tenglikni hosil qilamiz. Bundan yuqorida aytilgan tasdiq kelib chiqadi.