Nazariy fizika kursi

4 .2 .4 .  Tashqi  kuch  bajargan  ish
(4.28)  Lagranj  funksiyasiga  m os  keluvchi  energiya
£ ( / )  =   — 
nix2
  +  — 
m x2  -  xF  ( t
)
' 
1
 
2 
2 
v
(4.42)
A E  =
  £ ( + “ ) - £ ’( - “ ).
(4.43)
(4.42)  ifodadagi  b irin c h i  ikki  h adni
(4.45)
(4.44)
1  Kompleks  tahlildan  m aiu m k i,  z  =  x  +  iy kompleks  son  uchun  [zp  =   |.v+/v|2

/
i,   + iio.Xf  = —  J   d r F  (r)^cos((/ - r ) ) J  =
1
 
r 
(4.46)
— exp (icot) 
d x  F ( r ) e x p  (-/cor) 
m 
J
ifodalarga  o'taylik.  B u  y erda  tashqi  kuch 
l
  = —°°  vaqt  m o m e n t id a n  
t a ’sir  qila  boshladi  deb  olindi.  Ikkala  fo rm u la   birlashtirilsa
С ( t )  = exp (icot) 
ga  kelinadi.  Bu  funksiyaning  m oduli
\ m
=
t
/'flcoexp(ior) + — 
d z F  (т)ехр(-г'ш т)
m  J
(4.47)
|'ясоехр((о:) + —  I  d i F ( T ) c x p ( - i
m  J
i COT
(4.48)
U n d a n   tashqari,
.v = — I m £ ( f )
CO
b e lg ila sh d a n   h a m   fo y d a la n a y lik 1.  D e m a k ,   ta sh q i  k uch  t o m o n i d a n  
sistem aga 
t 
= —
d a n  
1 
=°°  g ac h a   uzatilgan  energiya
A E
= E(o°) — E (—°°) = ~ {|C  ( - ) f  -|C (-°°)|2} - ^ ( 0
i a c o c x p ( i a ) + —  Г d x F  (т)схр (-У ю т)
2
1 
9  2 
p ( t ) j
—  та  с о --------- Im f   ( / )
m  J
2 
со
(4.49)
fo rm u la   orqali  i f o d a la n a r  ek a n .  A gar  b o s h l a n g 'i c h   te b r a n is h l a r   b o 'l -  
m a sa  
(a  =
 
0
)  va  tashqi  k u c h   t  -»±°o  d a   nolga  intilsa  b u   fo r m u la  
so ddalashadi:
1 
Kompleks  son  z = x   +  iy ning haqiqiy  va  mavhum  qismlari  x   =   Re z  va у   =  
Jm  z  deb  belgiianadi.
89

A F
J  d t F  ( т ) с х р ( —/сот)
(4 .50)
I f
v'2
4.2.1-misol.
O s s i l l a t o r  
F ( /)  =  F0 e x p ( - r / г 2 )
kuch  ta’sirida  t  = —»   dan 
/
=
0
0
  gacha 
q ancha  energiya  olgan?  Masalani  ikki 
h oida  k o ‘ring:  a)  t  = - ° o   da  ossillator 
muvozanat  holatida  bo'lgan;  b)  t 
=-00 
da  ossillatorning  amplitudasi  a  ga  teng 
b o'lgan.
Yechish. 
a)  birinchi  h oida  ossilla- 
torin in g  b osh lan g'ic h   energiyasi  nolga
4.4-  rasm.  Y utilgan  energiya 
grafigi.
teng,  shu  sababli  (4 .5 0 )  form ula   m asalan ing  y e c h i m i n i  bevosita  beradi 
Integralni  hisoblaylik:
J 
d t F  ( ? ) e x p  ( —/CO?) =  
J 
c f r e x p ( - r   /Т"  - / « / ) .  
^
Integral  ostida  quyidagi  siljish  bajaraylik:  t  - > t  — -
ICOT'
Fit
 J < / r e x p ( - r  /т" 
-icot'j =  Ft)
ex p
C0'T~
4
d t e x p ( - t ~   / т : )  =
=   ^J
k
F^
z
 e x p   -
CQ~T~
(4.52)
D em ak,  ossillatorga  berilgan  energiya
nF
E
=
 
0
2 in
T~ exp
(  
1
 
2
  \  
ftTT
(4.53)
Olingan  natijani  tahlil  qilaylik.  со  —  sistemaning  parametri,  u  berilgan 
o'zgarmas  son.  Tashqi  kuchning  ifodasidan  ko'rinib  turibdiki,  т  —  tashqi 
kuchning  noldan  sezilarli  farq  qilish  davri.  Parametr  т  vaqt  o'lchamligiga
90

ega,  demak,  cox —  o'lcham siz  parametr.  Bu  parametrni  Q)X=f3  deb  belgilansa 
berilgan  energiya
E =
izF02
13' exp
Г
(4.54)
ko'rinishga  keltiriladi.  Bu  funksiyaning  grafigi  4.4 -rasm da  ko'rsatilgan.
Oydinki,  ( 3 «:  I  va  / ? »   1  bo'lganda  ( y a ’ni,  qisqa  vaqtli  zarba  yoki, 
tashqi  kuch  sekin  paydo  bo'lib sekin  y o ‘q  bo'lsa)  ossillatorga berilgan  energiya
kam  bo'ladi,  ( 3 - 4 2   (r = J 2 / c o  j  bo'lgnada  esa  ossillatorga  berilgan  energiya 
maksimal  bo'ladi:
E
^max
n F t:
mCO'e
b) 
Bu  holda  ossillatorining  boshlang'ich  energiyasi  bor.  (4.49)  formu- 
ladagi  oxirgi  had  bo'lmaydi  holos,  chunki  f —
da  F ( ? ) —» 0  bo'ladi. 
Intcgraini  hisobiash  masalamizning  a)  qismida  ko'rsatilgan,  natija:
ДЕ = -
nF.:
/aftjexp(ta) + —  j  dxF (x)cxp(-ia>T)
J
-X  exp
CO'X
- uO)\Jк Fnx exp
V
CO T~
4
(4.55)
sin a.
[kkinchi  hadning  oldida  minus  ishorasi  turibdi,  sistema  energiya  oladimi 
yoki  y o 'q o ta d in ii  s i n a   ning  ishorasiga  b og'liq ,  bu  yerda  a   tashqi  kuch 
bo'lmaganda  ossillatorining  t  =   0  m omentidagi  fazasi  edi.  Agar  n < a < 2 n  
bo'lsa  aniqki,  ossillatori  enrgiya  yutadi,  0 < a  <
k
  holda  esa  energiya  yo'qotishi 
mum kin.  B a’zi  bir  hollarda  ossillator  atomda  harakat  qilayotgan  elektronning 
klassik  modeli  sifatida  ishlatiladi,  tashqi  kuch  ta’sirida  atom   enrgiyani  yutishi 
yoki  nurlanish  orqali  uni  yo'qotishi  mumkin.  Bizning  holim izda  bu  elekt­
ronning  boshlang'ich  fazasiga  bog'liq  ekan.
4 .3 .  S o ‘nuvchi  tebranishlar
S h u   p ay tg ac h a  tashqi  m u h itn in g   sistem aga  t a ’sirini  hisobga  o lm ay 
kelingan edi.  Sistem a biror tashqi  m u h itd a   harakat qilsa u shu m uh itn in g  
m o le k u l a la r i   bilan   t o 'q n a s h i s h i   n a tija s id a   o ‘z  en e rg iy sin i  y o 'q o t a
91

boshlaydi.  M o le k u la r o ‘za ro   t a ’sirni  hisobga  o lg an  b u n d a y   h a r a k a tn in g  
t o 'l i q   nazariyasi  m u rak k a b   b o 'lib   u  m e x a n ik a   fa n in in g   vazifasi  em as. 
A m m o   agar jis m   tezligi  k ichik  b o 'lsa,  m u h i tn i n g   t a ’sirini  ishqalanish 
k u ch i  sifatida  h a ra k a t  tenglam asiga  kiritish  m u m k i n   y a ’ni,  m a sa la n i 
m e x a n ik   m asalaga  aylantirish  m u m k in .   B u n d a y   ishqalanish  k u c h i jis m  
tezligiga p ro p o rsio n a l b o 'lish i  kerak,  c h u n k i  tezlik n olga te n g  b o 'lg a n d a  
ishqalanish kuchi  h a m  y o 'q  bo'Iadi.  K ich ik  tezliklar h a q id a  gap ketay o t- 
g a n in i h isobga olib,  bu   k u c h  tezlikning b irin c h i darajasiga  p ro p o r sio n a l 
deb  olinadi:
M i n u s   ishora  k u c h   h a ra k a t  tezligiga  qarshi  y o 'n a lg a n in i   k o 'rsa ta d i. 
D e m a k ,  b u   h olda,  h arak at  teng lam asi
k o 'rin ish g a   ega.  Q uyidagi 
a f i = k / m ,   2 y  =  a / m  
belgilashlar  kiritib  bu 
te n g la m a
/   = - a x .
(4.56)
m'x =  —t v  -  a.x
(4.57)
x + 2 y x  + 
x = 0 
k o 'rin is h g a   keltirib  olinadi.  Bu  te n g la m a n in g   y ec h im i
x = e x p ( tr )
k o 'r in i s h d a   qidiriladi. 
к
 
u c h u n   ten g lam a:
к ~  + 2  у  к + с о =  0.
T e n g la m a n in g   ikkita  y e c h im i  bor:
(4.58)
(4.59)
(4.60)
*i  = - y + \ / y 2 - ^ 2- 
*2
  = - 7 - \ Т 2 - ^ 2.
(4.61)
K o 'r i n ib   turibdiki,  u c h   xil  hoi  u c h r a sh i  m u m k in :
1
- 
a t f > y 2 ;
л  
2 
2  •
2
- 
щ} < у  ,
1
 
2
 
->
Щ  =  У  ■
B irinchi  h o ld a  
a f i - y 2 -  co2
  deb   belgilansa
k L2
 
= 
—y
 ± 
ICO
(4.62)
ga  kelinadi,  bu  degani,  (4.58)  n in g   y ec h im i
92

х
 = a e x p ( - y / ) c o s ( c ®  +  

(4 .6 3 )
k o ‘rinishga  ega  b o i a d i ,   B u  y e c h im   davriy  y e c h im   em as,  u  
so ‘nuvchi 
tebranishlarga
  m os  keladi.  U n i n g   grafigi  4 .5 -a   ra s m d a   ko'rsatilgan.
Ikkinchi  holga  o'taylik.  B u  h o id a   (4.61)  dagi  ildiz  haqiqiy  son 
b o i a d i ,   u m u m iy   yec him
B unday yechim  so'nishning o'zini  beradi.  U n ing grafigi  4.5-b  rasinda 
ko'rsatilgan.
U c h in c h i  holga  kelaylik.  Bu  h oida  xarakteristik ten g la m a n in g   ildiz- 
lari  karralidir.  U m u m i y   nazariya  b o 'y i c h a   yechim
k o ‘rinishga  ega bo'ladi.  Agar teb ra n ish   quyidagi b o s h la n g 'ic h   shartlarga 
bo'ysunsa:  ,v(
0
) = 
0
,  j (
0
) = u , ,
x = v t exp ( - y t )
b o 'la d i,  b u   funksiyaning  grafigi  4 .5 -d   rasm da  ko'rsatilgan.
Ishqa la nish  b o r b o i g a n i   u c h u n   energiyaning  saqlanishi  h a q id a   gap 
bo'lishi  m u m k in   em as.  (4.58)  te n g la m a n i 
mx
  ga  k o 'paytirib  uni
k o 'rin is h g a   keltirib  olinadi.  Bu  m u n o s a b a t  esa  (4.12)  ni  k o 'z d a   tutgan 
h o id a   ossillator  t o m o n id a n   energiya  y o 'q o tis h   tezligi  u c h u n
f o r m u l a n i   b e r a d i .  F iz ik   s i s t e m a n i n g   e n e r g i y a   y o ‘q o t i s h i   m u h i m
a)
h)
d)
4.5-  rasm.  S o ‘nuvchi  tebranishlar.
(4.64)
x = ( q   + t 2f ) e x p ( - y / )
(4.65)
(4.66)
(4.67)
93

t u s h u n c h a   b o i g a n i   u c h u n   uni 
dissipativ funksiya
  deyiladigan  va
F = ^ a k 2
 
(4.68)
k o 'rin is h g a   ega  b o i g a n   funksiya  orqali  ifodalash  qabul  qilingan.  B u 
h o id a  a w a lg i  te n g la m a
-Jt E = ~2F
 
(4.69)
k o 'r in is h n i  oladi.  Y a ’ni,  dissipativ  funksiya  siste m an in g   vaqt  birligi 
ichidagi  energiyasining  dissipatsiyasini  bildirar  ekan.  Bu  h o id a   (4.57) 
h a r a k a t  tenglam asini
d   ?,L 
d l  
Э F
T 7 - 7   =  ' T  
(4-70)
at  d x 
d x  
ox
k o ‘rin ish d a  h a m   yozib  olish  m u m k in .
O d a t d a .   e n e rg iy a   y o 'q o t i s h i n i n g   b ir  «davr»  7 = 2 л / ю ()  ich id ag i 
o i t a c h a   qiymati  qiziqadi  b o i a d i .   Bu  kattalikni  hisoblash  u c h u n   birinchi 
holga  m u ro ja a t  qilinadi  va  y «  
aj1
  (ishqalanish j u d a   kichik)  deb  olinadi.
Bu  h oida  л(/) -  
curY'
 sin ( a y  + 

  va 
d E  
- 
i
—   =   - а л '   -  
- а а ' щ ] с   '•
  s i n '   (co0f 
+ w )  
dt
b o i a d i .   Quyidagi  kattalik  ishqalanish  quvvati  deyiladi:
2
/r/oii, 
,,  (  2л7шц 
^  ,
n 
o\, 
f  
dE  
a a ’ o
f  
__2
 
,  , 
c u r щ]
'  ^
  J  Л л * " З Г
1
  J  ^   ' « - ( « W r t —
- F s-'-'-(
4
.
71
)
0 
0
Integralning  qiymati 
T=2n/iou
  davr  ichida  energiyaning  o'zgarishiga 
teng,  uni 
T
  ga  b o i i n s a ,   bir  davr  ichidagi  y o ‘qot.ilgan  energiya  kelib 
chiqadi.  Integralni  hisoblaganda  y «  
o.){)
  ni  hisobga  olib  integral  ostidan 
e x p ( -
2
^ )  ni  chiqarib  tashladik
K.o‘rilayotgan  y aq in lash u v d a energiya  u c h u n  
E 
^ т с г щ е Г 77' 
ifoda
o l i n a d i ( ( 4 . 12)  form ulada  a m p litu d a n i  « 
ae~y!
  ga  alm ashtirish  yetarli). 
Y a n a   bir  m a r ta   t a ’kidlab  ketavlik.  o ssilla to rn in g   energiyasi  sifatida 
( 4 . 1 2 )   ifo d a   q a r a l a d i ,   (4 .6 9 )   i f o d a   e n e r g i y a   y o ' q o t i s h   t e z l i g i g a  
tegishlidir.
B u n d a n   foydalanib  m u h im   b o i g a n   o i c h a m s i z   bir  kattalik  kiritaylik:
94

л  
<  E > c q
, 
й>,
Q = — y ±  = 
P
 
(4 -72)
U n in g   n o m i 
asillik,
  ossillator  energiyasining  bir  davr  ichida  ishqa­
lanish  orqali  y o 'q o tilg an   energiyaga  nisbati  (chastotaga  k o ‘paytirilgan 
holda)  —  s o 'n u v c h i  te bra nishla rning  qav  darajada  u zoq  d av o m   etishini 
xarakterlaydigan  kattalik.
4.4.  Ishqalanish  bo‘lgandagi  majburiy 
tebranishlar
I s h q a l a n i s h   k u c h i   t a ’sir  q i l a y o t g a n   m u h i t d a   t e b r a n a y o t g a n  
sistem aga  tashqi  k uch  t a ’sir  q ilayotgan  b o 'ls in .  T a sh q i  k u c h   davriy 
xarakterga  ega  b o ’lgan  hoi  eng  qiziq  b o 'lg a n i  u c h u n   sh u   h o ln i  k o 'r ib  
chiqaylik:
x
 + 
IX x
 + 
со
q .v — — cos ( у/ j . 
(4.73)
in
T a sh q i  k u c h n i n g   k o 'r in i s h i   s h u n d a y   t a n la b   o l in d ik i,  u  t = 0   vaqt 
m o m e n t id a   noldan  boshlab  ishga  tushsin.  T engla m a ga  o 'z g a rm a sla rn i 
variatsiyalash  m eto d in i  qo'llaym iz.  Bir jinsli  te n g la m a n in g   yechim i
-Я + ^'Л--
щ’,\
 
С~А-,/л--ау;  1 
('4 74'»
Хо ( / )   =   С, 0Л 
1  + C 2 CA 
1 
'
’
b o 'lsa,  o 'z g a rm a s la r n i  variatsiyalash  m e to d i  (4.73)  ning  y e c h im in i 
quyidagi  k o 'rin is h d a   beradi:
f 2 y X s m ( y t ) - ( y 2 -  со
2) cos
( y t )  
л■(/) = .ч
, ( 0
 + ~
M  
2\2
 
, 
’ 
<4 -75>
[ Y~- ° }o)
  + 4 ' / Я
S hu  y e c h im n in g   xossalarini  tahlil  qilaylik.  G a p   te b ra n ish la r  h aq id a 
ketayotgan  ekan 
X<  a>(]
  deb  olam iz.  Bir  jinsli  ten g la m a n in g   y ec him i 
s o 'n is h   b o r  b o 'lg a n i   u c h u n   vaqt  o 'tis h i  b ilan  nolga  intilib  ketadi: 
jc
0
(0->0,  t  - >
00
.  H a q iq a td a ,  albatta, 
t
  cheksizlikka  intilishi  shart  em as, 
x()  ni tashlab  yuborish  u c h u n  
Xt
  kattaroq  son  bo'lishi  yetarlidir.  D e m a k , 
m a ’lum  bir  vaqt  o 'tg a n id a n   keyin  y e c h im   sifatida
f  2yXs\ n(yt )+[ - y2  +co2)cob(yt) 
x(t) = ~
----------------------^--------------------• 
(4.76)
('Г ~щ) ~ +4}'2X2
95

funksiyani  olish  m u m k in .  T e b ra n is h n in g   s o 'n m a y d i g a n   qism i  tashqi 
k u c h d a n   olib  tu rilg an   energiya  hisobiga  m avjud  b o 'Ia d i.  A garda
k o ' r i n i s h d a   y o z ib   o l i s h   m u m k i n .   B izn i  e n g   q i z i q t i r a d i g a n   hoi  - 
t a s h q i  c h a s t o t a   A s i s t e m a n i n g   xususiy  c h a s to t a s i   o>w ga  y a q i n   b o 'i g a n  
h o ld ir.  I s h q a l a n is h   k u c h i   b o 'l m a g a n   h o l d a   t e b r a n i s h l a r   a m p l i tu d a s i  
c h e k s i z   o ' s a   b o s h l a r   e d i  (  (4 .4 1 )  ga  q a r a n g ) .   E n d i c h i ?   B u   s av o lg a 
j a v o b   b e r is h   q iy in   e m a s   —  (4 .7 8 )  d a n   k o ' r i n i b   t u r i b d i k i ,   t e b r a n i s h  
a m p l i t u d a s i   h a m m a   v a q t   c h e k l a n g a n   va  u n i n g   m a k s i m a l   q i y m a t i  
h 
g a   t e n g d i r .  
h
  u c h u n   ifo d a   e sa 
y->coa
  b o ' l g a n d a   h a m   c h e k l i l i g i c h a  
q o l a d i .
R e z o n a n s  sohasini c h u q u r ro q  tahlil qilaylik,  b u n in g  u c h u n  
у
 = 
+ 
e 
deb  o linadi  va 
£ - > 0
  s o h a n i  tekshiram iz.  U n d a n   tash q ari  А « а ь   deb 
h a m   o la m iz   (ishqalanish  k uchi  kichik  b o 'isin ).  Bu  s o h a d a   teb ra n ish  
a m p litu d a si
k o 'r in is h g a   keladi.  M ajburiy  tebranish  fazasi  tashqi  k u c h n i n g   fazasiga 
n is b a ta n   «kechikish»  xossasiga  ega  eka n.  B u n i  q u y id a g ic h a   k o 'r is h  
m um k in .  (4.77)  d a n   k o 'r in ib   turibdiki,  y
— >0
  b o 'l g a n d a   ( у - ш
0
  so h a d a )
2 y A
( - y
2
 + ft
>0
 )
va
/
deb   belgilab  olin sa  ( sin
2
 
8
 -fcos
2
 
8
 = 
1
  ekanligini  tekshirish  qiyin  em as) 
top ilg a n   y e c h im n i
x ( t )  =  h c o s ( y t  +  5 )
(4.78)
2
тщ
  ^
(4.79)
va  teb ra n ish   fazasi
(4.80)
e
96

<5
- > « 0
  b o ‘ladi.  у —>°°  (y-> w 0)  s° h a d a   esa  5 -» —я  
bo'Iadi.  Agar tashqi  kuch  chastotasi  y->o
>0
 ga intilsa
5 —»—tt
/ 2
  ga  intiladi. 
/
(4 .7 8 )  te b r a n y o t g a n   m a y a t n i k n i n g   en e rg iy asi 
A  
o 'z g a r m a s d a n   q o lis h i  kerak.  D e m a k ,   m a y a t n i k  
у
  j 
t a s h q a r id a n   o l a y o tg a n   e n e rg iy a n i  i s h q a la n is h g a  
k e t k a z a d i .   B ir  d a v r   b o 'y i c h a   o 'r t a l a s h t i r i l g a n  
4 6
  m
  Rezonans 
e n e rg iy a   yutilishi  in te n s iv h g in i 
I(y)
  d e b   b elgilab 
yaqi„ida  energiya 
u n i   to p a y lik ,  u   esa  e n e rg iy a  d issipa tsiya siga  tes- 
yutilishi intensivligi. 
kari  ishora b ila n   ten g d ir.  (4.69)  f o r m u l a  b o 'y i c h a
I (
y
) = 2F
 
(4.81)
b o 'I a d i,  b u n d a  
F
  —  bir  d a v r  b o 'y i c h a   o 'r ta la s h ti r ih s n i   bild irad i. 
Dissipativ  funksiya  bizning  h o lim iz d a
F = ^ a x 2  = 
f a u x
2
 
= fanx2h2
 sin
2
 (yf + 
5).
S inus  kvadratining  bir  davr  b o 'y i c h a   o 'r ta c h a   qiym ati  1/2  ga  teng, 
d em ak
I 
(y) = Amy
2
 
h2.
 
(4.82)
R e z o n a n s g a   yaqin  so h a d a
7 (£ ) = I "
t
V
 
(4 -83>
4m 
e  +X
E nergiya  yutish  intensivligining  m a k sim u m in i
I  = - £ -
0 
4mA
deb  belgilab,  yuqoridagi  form ulani
' ( e W
o - ^ r  
(4-84)
£~
  +  A"
k o 'r i n i s h d a   y ozib  olinadi.  O lin g a n   fu n k siy a n in g   grafigi  4 . 6 - r a s m d a  
k o 'rsa tilg a n .  Bu  f o r m u l a d a n   /(±A ) = ^ 7
0
  ekanligi  kelib  c h iq a d i,  shu 
s a b a b d a n   |e| = A  q iy m a t  re z o n a n s   egri  c h iz ig 'in in g   y a r im   kengligi
7  —  N a z a r i y   m e x a n i k a
97

d eyiladi.  S o ’nish  k a m a y g a n   sari  Я -^O  r e z o n a n s   g rafigining  e h o ' q q i -  
sim o n lig i  o rtib   b o ra v e ra d i,  a m m o   g ra fik n in g   ostidagi  y u z a   o 'z g a r -  
m ay d i.
4 .5 .  K o‘p  o ‘lchamIi  sistem alardagi  tebranishlar
4 .5 .1 .  Ikkita  bog‘Iangan  mayatniklar
4 . 7 - r a s m d a   k o ‘rsatilgan  siste m a d a g i  te b r a n u v c h i   h a r a k a t n i  o ' r -  
ganaylik.
S is te m a   uzunliklari  va  m assalari  /,, 
m y
  va  /,,  /w,  b o 'i g a n   ikkita 
m a t e m a t ik   m ay atn ik lard a n   iborat.  U l a r  bikirligi 
к
 b o 'ig a n  p ru jin a  orqali 
b ir-biri  bilan  b o g ‘langan.  T u s h u n a r lik i,  agar  biro r  m a y a tn ik k a   tu rtk i 
bersak  ikkinchisi  h am   t e b r a n a   boshlaydi,  bu  ikki  m a y a tn ik   o ra sid a 
o 'z a r o   t a ’sir  natijasida  en e rg iy a n in g   b irid a n   ikkinchisiga  k o 'c h ish i  r o 'y  
berishi  kerak.  U shbu sistem aning  Lagranj  funksiyasini  topaylik.  U m u m iy  
q o id a   b o 'y i c h a
L — T,  + T-,
  — (7, 
—U2 ~U[2.
 
(4.85)
b u n d a  
Tr  i
  =  
1 , 2
  —  m os  ravishda 
tegishli  m a y a tn ik n in g   kinetik  e n e r ­
giyasi, 
Up  i  =
  1 , 2   —  m os  ravishda 
m a y a tn ik n in g   potensial  energiyasi 
va 
Ur
  —  u l a r n i n g   o ' z a r o   t a ' s i r  
e n e r g i y a s i .  B i r in c h i   m a y a t n i k k a  
tegishli  k o o rd in a tla rn i 
x r y p
  ik k in ­
c h i   m a y a t n i k k a   te g is h li  k o o r d i ­
n atlarn i  esa  a%,  v,  deb  belgilaylik 
(e sim izd a n   c hiqarm aylik,  x ,  
у
  — 
b a r q a r o r   m u v o z a n a t   h o l a t i d a n  
ch e tla sh ish larn i  bildiradi).  M a y a t ­
niklar  osilgan  iplar  b u k ilm a y d ig a n   deb   qaraladi.  Agar  ikkala  m a y a tn ik  
b a r q a r o r   m u v o z a n a t   h o la tid a   b o 'l s a ,   ora d ag i  p r u jin a n in g   tarangligi 
nolga  t e n g   bo'Iadi.  Lagranj  funksiyasi  q u y id ag ich a  tuziladi:
L  --  — m,
  (.vf  +  vf 
) + ~ '" 2
  (.v:  +  v,"  j +  
+ 
n u g y ,   - ~ k ( x . --  X . ) "   .
 
(4.86)
B u rc h a k   o 'z g aru v ch ilarig a  o 't a m i z   va  kichik  te b ra n ish la r  h a q id a  
gap  k etay o tg a n in i  hisobga  olam iz:
к 
L
•  W/vWAWAVvVA'- j  -
;:
'  /Д 
/ / , :
\ 
/  '
\ 
/
v
4. 7-  rasm.  Ikkita  b o g ia n g a n