Nazariy fizika kursi
Download 132.13 Kb. Pdf ko'rish
|
|
3 .3 . Kepler m asalasi K epler m asalasi deb jis m n in g (3.36) k o 'r in i s h d a g i m a y d o n d a g i h a r a k a t in i o 'r g a n i s h n i aytiladi. Bu k o ‘- rin ish d ag i m a y d o n fizik a d a e n g m u h i m rol o 'y n a y d i g a n g ra v ita tsio n m a y d o n va k u lo n m a y d o n la r ig a t o 'g 'r i keladi. G r a v i t a t s i o n m a y d o n faqat t o rtis h is h ta b ia tig a ega ( a > 0 ) , k u l o n m a y d o n i h a m t o rtis h is h , h a m itarish ( a < 0) t a b ia tig a ega dir. Effektiv p o t e n s i a l ( ( a > 0 ) hoi u c h u n ) U 4f a M ~ ( r ) = ----- + --------: >' 2 mr' (3.37) (3.4) ra sm d a korsatilgan. Effektiv p o te n sia ld a o ‘ra b or, d e m a k , (3.36) m a y d o n d a finit h a ra k a t m avjud ekan. R a s m d a n k o 'rin ib turibdiki, b u n in g u c h u n jism energiyasi m anfiy bo'lishi kerak: E < 0. Bu hoi u c h u n m arka zga eng yaqin va eng u z o q n u q ta la r E = Ucff(r) t e n g la m a d a n topiladi: 3.4- rasm. Effektiv potensial. Y uqori ishora rmax ga va quyi ish o ra rmm ga t o 'g 'r i keladi. A lbatta, agar E > 0 b o 'lsa I т a I a " M ' / 1 ' - ‘ “ “ i e + v j f + m <3JS) ga ten g b o 'la d i, r mo;( esa m a v ju d b o 'lm a y d i. M 2 Effektiv potensiai r0 = ----- n u q ta d a m i n im u m g a erishadi: т а ma~ 2 M ' H e c h q a n d a y jis m n in g energiyasi b u n d a n kichik b o'lishi m u m k i n em as. M u sb a t energiyali va energiyasi n o lg a teng jis m la r infinit h a r a k a t qiladi - ular ch e k siz lik d a n kelib ch e ksizlikka ketadi. K e p le r m asalasidagi in teg ra liar o s o n h isoblanadi. B u rc h a k topaylik (c -in te g rallash konstan tasi): M-d r d( 1/r) J ' • "j' J 2 m a M ' J 2та M" J 2ma M~ 2 m E л ------------------------------- j- , | 2 m E л ------------- M т а = arccos_ ^ = = M ===r + c. (3 .3 9 ) . 2 m E + V M- In teg rallash k o n s ta n ta s i s h u n d a y ta n la b o iinadiki, 0 n u q ta r = r ga t o ’g 'ri kelsin. /tun & ° B uning u c h u n const = 0 bo'lishi kerak. И ' 2 E M - P = ------• e = J l + — - (3 .4 0 ) т а \ та' belgilashlar kiritilsa olin g an fo rm u la P (3 .4 1 ) + e co s q> v ’ 62 ko 'rinishga keltiladi. O rbita k o n u s kesimi form ulasiga keltirildi, P — orbita param etri va e — unin g ekssentrisiteti deyiladi. = 0 va n u q ta la r o rbitaning m arka zga eng yaqin {perigeliy ) va eng uzoq ( apoge - liy) nuqtalariga t o 'g 'r i keladi. £ < 0 h o ld a e < l b o 'Iad i, o rbita ellips k o ‘r i n is h ig a ega. E l l ip s n i n g f o k u s l a r in in g b i r i d a j i s m l a r n i n g biri jo yo'lashgan b o ‘ladi, chunki fokusdan ellipsning eng yaqin nuqtasigacha m asofa geom etriy a n in g m a ’lu m form ulasi b o 'y ic h a P /( 1+e) ga teng, bu esa rmjn ning o'z idir. Tabiiyki, shu fokusdan eng u zo q m asofa P / ( i - e) a w a l aniq lan g a n rmax ga tengdir. B u n d a n h a ra k a t d av o m id a j is m - larning biri ellipsning b itta m ark a zid a turadiga n b o 'lib chiqadi. A gar E = ( U ef/)mjn b o 'lsa e= 0 ga ay lan a d i, o rb ita a y la n m a k o 'r i- nishini oladi, m ark a zg ac h a m asofa o 'z g a rm a s r = p = M l/m a ga teng bo'Iadi. E = 0 b o 'i g a n h o l d a e = 1 b o 'I a d i , y a ’ni, o r b i t a p a r a b o l a k o'rinishiga ega bo'Iadi. Bu h olda h a ra k a t infinitligi aytilgan edi. Energiyasi m usbat jism esa gravitatsion (kulon) m a y d o n id a giperbola b o 'y ic h a h arakat qiladi — bu h olda e > 1 . 3 .3 .1 - m is o l. Ko'rilayotgan U(r) = —a / r maydonda yana bitta harakat integrali bor, u ham b o ‘lsa ekanligini darhol ko'ramiz. Vektor A orbita tekisligida yotadi - bu uning ta’rifidan ko'rinib turibdi. A vektor markazdan perigeliyga qarab yo'nalgan (bobning oxiridagi masalalarni qarang). 3 .3 .2 - m is o l. Kepler masalasini A harakat integrali yordamida yeching. Y ech ish : A ni r ga skalar ko'paytiraylik: m Agar A va г orasidagi burchakni deb belgilansa va e = A / a , p = M 1/ ( m a ) belgilshlar kiritilsa, o'zim izga m a ’lu m bo'igan (3.4 1) formula hosil bo'Iadi: A = 1 v M ] ------- (3.4 2) r ekanligini ko'rsating. Yechis h. a r a r ( r r ) r (3 .4 3 ) B u nd a M = m[rv] va harakat ten g la m a s i тг = а г / г ъ larni qo'ysak A = 0 М г A r = - а г л ------- . (3.44) P (3.4 5) r ~ 1 + 63 3 .5 . M arkaziy maydonda soch ilish jarayonlari 3 .5 .1 . Sochilish kesimi S h u p a y t g a c h a m a rk a z iy m a y d o n la r d a g i aso sa n finit h a r a k a t n i o ‘rganildi. T a s h q i m ay d o n lard ag i infm it h a r a k a t l a r h a m k atta a h a - m iy atg a ega. C h e k s iz u z o q d a n tu s h ay o tg an jis m m a y d o n m ark a zig a y a q in la s h g a n id a m a y d o n bilan o 'z a r o t a ’sir n atijasida o 'z tra y e k to - riyasini o 'z g artirisi tu rg a n gapdir. S hu j u m la d a n , u m arka zga tushishi, b o s h q a jism bilan t o ‘qnashishi m u m k in . F iz ik j a r a y o n l a r o 'r g a n g a n d a ularga ad e k v at b o 'lg a n ( y a ’ni, m os k elu v ch i) t u s h u n c h a l a r d a n foydalanishi kerak. T o 'q n a s h i s h va sochilish j a r a y o n la rin i sochilish kesimi tu s h u n c h a s i yaxshi ifoaalaydi. U q u y id a g ic h a kiritiladi. T ajrib a d a z a r r a c h a l a r o qim i nishonga tu shadi. O q i m n i n g zichligi ./ — birlik vaqt ic h id a birlik sirt orqali o 't g a n z a rra la r so n in i bildiradi. U n in g o i c h a m l i g i f j ] = m u 'sek N i s h o n (n i s h o n n i tashldl qilgan z a rra chalarning m aydonlari) bilan o 'z a ro t a ’sir natijasida o q im n i tashkil qilgan z a rra la r s o chiladi (sochiladi d e g a n d a h a m m a m u m k in b o 'l g a n j a ra y o n l a r k o 'z d a tutiladi — shu j u m la d a n , m ark a zg a tushish, m a rk a z d a tutilish va h.k. Y a ’ni, sochilish d e g a n d a z a rra c h a n in g o 'z b o s h l a n g 'i c h Lrayektoriyasini o'z g artirish i ko'z da tutiladi). A gar 3 . 5 -ra s m d a ko'rsatil- gan id ek , j i s m n i n g o g 'ish burchagi 0 d eb belgilaylik. K u z a tu v c h i b ir s e k u n d d a q a n c h a z a rra c h a (в,в+с!в) b u rc h a k o ra s id a ta rq a lg a n in i sa~ naydi. M a n a shu son dn(9) deb belgilanadi. U ning o ic h a m lig i |dn]=sek"'. Agar u n i n g tu sh a y o tg a n oqim zichligiga nisbati olin sa bir s e k u n d d a birlik y u z a d a n o 't i b n ish o n g a tu sh g an z a rra c h a la r n in g q a n d a v qismi (6,9 +c/8) b u r c h a k ic h id a tarqalgani topiladi. Sochilishning differensial kesimi, yoki, k o 'p i n c h a soddalik u c h u n qisqaitirilib aytiladigan sochilish kesimi, dn do = — (3.46) fo rm u la o rq a li t a ’riflanadi. Differensial k c sim n in g o i c h a m l i g i yuza o 'lc h a m iig ig a teng. 3 .5 -ra s m so ch ilish ja ra y o n id a ishlatiladigan b a 'z i b ir k attaiiklarni kiritishga tegishli. C h a p to m o n d a n bir jism t u sh a y o tg a n b o 'lsin . в — sochilish b u rc h a g i (laboratoriya sistem ada, c - s is :e m a d a ), p — nishon param etri N i s h o n p a r a m e tri — agar tu s h a y o tg a n z a rra va m a rk a z 64 3.5- rasm. B ir jism ning sochilishini ta ’riflashga oid. orasida h e c h q a n d a y o 'z a r o t a ’sir k uchi b o ‘lm a g a n d a shu z a rra ning m ark a zd an q a n d a y m asofada o ‘tib ketishini bildiradi. K o 'rin ib turibdiki S o ch ilash j a ra y o n in i la b o ra to riy a (/-s istem a) va inersiya m ark a zi (/и-siste m a ) la rd a k o 'r ib c h iq is h i m u m k i n . w -s i s t e m a - so ch ilish ja r a y o n i d a is h tiro k e t a y o tg a n z a r r a c h a l a r n in g t o ‘liq im p u ls i n o lg a te n g b o 'l g a n sistem a. M a r k a z iy m a y d o n d a soch ilish ja r a y o n l a r i m- siste m ad a k o 'r ila d i, 1-sistemaga o 't i s h fo rm u lala ri 3 .5 .2 -p a ra g ra fd a berilgan. T u sh a y o tg a n za rra c h a nishon bilan o 'z a r o t a ’sir natijasida m a r k a z d a n в b u rc h a k ostida sochildi. Agar nish o n p a ra m e tri p b o s h q a c h a bo'lsa, zarraning sochilish burchagi в h a m b o s h q a c h a b o 'ladi. B oshqa s o ‘z bilan aytganim izda, p -»p +dp o'z garishiga в - > 0 + d 6 o 'z garishi m os keladi. d p v a dd la m in g ishoralari orasidagi b o g ‘lanishni aniqlaylik. O d a td a , p kam aysa в oshishi k erak (c h u n k i bu h o ld a zarra m arkazga y a q in ro q keladi va, natijada, u lar orasidagi o 'z a r o t a ’sir kuch a y ad i) va aksincha. D e m a k , odatda, (k o 'p in c h a shunday, b a ’zi-bir hollardagina b u n d a y em as) dp va d e la m in g ishoralari h a r xil ekan. sochilish j a ra y o n in i o 'r g a n a m i z , sh u n in g u c h u n cp0 sifatida (3.28) form ula b o 'y ic h a an iqlanadigan b u rc h a k n i olamiz: b u n d a rmjn — tr a y e k t o r i y a n i n g m a r k a z g a e n g y a q i n n u q t a s i g a c h a m aso fa . 2 + в = к. (3.47) схэ M (3.48) 5 — Na z a r i y m e x a n i k a 65 K o ‘rilayotgan m asalada zarracha cheksizlikdan nishonga tushm oqda. U n in g saqlan u v c h an energiyasi va im puls m o m e n tla rin i b o s h la n g 'ic h kattaliklar orqali ifodalab olish m a q sa d g a muvoftqdir: 2 M = m v aap , (3.49) b u n d a V" — zarrachaning boshlang‘ich (cheksiz uzoq masofadagi) tezligi. N a tijad a og'ish burchagi u c h u n integral oo Г P dr % = ----- 1 ....— = ----- - J Г- L ? -?-USD (3.50) 'nlin i V r~ mvz k o ‘rinishni oladi. 3 .6 -rasm d a k o 'rsatilganidek, b o s h la n g 'ic h o q im d a (p, p + d p ) nish o n m asofasida b o 'lg a n za rralar ( e , ( h d 6 ) b u rc h a k ichiga sochilgan b o 'ladi. fchki va tashqi radiusi (p, p + d p ) b o 'lg a n h aiq a n in g yuzasi I n p d p , uni o q i m jichligi j ga k o 'p a y tirils a sh u y u z a d a n b ir s e k u n d d a o 't g a n za rra la r soni kelib chiqadi. D e m a k , d n —2 n p d p j ekan, bu esa 3.6- rasm. Sochilish. d a = I n p d p fo rm u lag a olib keladi. B u rch a k o'zgaruvchisiga o'taylik: d p ( 0 ) d o = I n p { 9 ) d 6 d9. (3.51) (3.52) Absolut q iym at paydo b o 'lg a n in in g sababi yu q o rid a aytilganidek deyarli h a m m a vaqt d p /d Q < 0 ekanligidir, sochilish kesimi esa o 'z in in g m a ’nosi b o 'v ic h a m u sb at b o 'lishi kerak. 66 A g a r f a z o v i y b u r c h a k d o = 2 n s i n 6 d 6 ga o 'tils a , d iff e r e n sia l k e s i m u c h u n f o r m u l a d a = № d m dn (3.53) sin 0 (W k o 'rin ish g a keladi. 3 . 5 . 2 . T V q n a s h is h ja r a y o n la r i T o 'q n a s h is h jara y o n id a jism larning impulslari va energiyalari o'z ga- radi. D e m a k , bir j is m d a n ikkinchisiga uzatilgan energiya va im puls- larning hisoblash masalasi qarab chiqilishi kerak, Energiya, im puls va tezlikiarning qiym atlarini saqlanish q o n u n lari orqali topishi m u m k in . Bu ish b ir n e c h a m isollarda ko'rsatiladi. 3.5 1 -m iso l. Boshlang'ich tezligi V bo'igan zarracha ikki qismga parcha- landi. Parchalanish natijasida hosil bo'igan zarrachalarning chiqish burchagini toping. Zarrachalarning bittasini olaylik. U n in g tezligi I va m sistemalarda v va v„ bo'isin. v = V -t- v0 munosabatni v - V = v0 ko'rinishda olib kvadratga ko'tarilsa formula olinadi. Bunda 0 — v va V vektorlar orasidagi (/ — sistemadagi) burchak. Bu tenglama v ga nisbatan yechilsa formulaga kelinadi. Agar v0> V bo'lsa в burchak ixtiyoriy qiymatni qabul qilishi m um kin y a ’ni, parchalanish natijasida hosil bo'igan zarracha ixtiyoriy yo'n alishda uchib ketishi mumkin. A m m o v , < V bo'lsa в burchak chega- ralangan bo'Iadi: Birinchi holda parchalanish mahsuloii V ga nisbatan ixtiyoriy yo'n a- lishda harakat qilishi m um kin (shu jum lad an, teskari yo'n alish da ham). Ikkinchi h olda esa u V ga nisbatan faqat old in ga qarab uchib chiqadi, bunda uchib chiqish burchagining maksimal qiymati quyidagi formuladan aniqlanadi: v~ + V 2 - 2 vV cos в = v (2 (3.5 4) (3.5 5) (3.5 6) Agar v =: V + v0 va v - V = v0 munosabatlarni kvadratga k o ‘tarib uiardan V- ni topib bir-biriga tenglashtirilsa u c o s 0 = Чц c o s 0 o + V (3.58) formula topiladi. Bu yerdan olingan V2 ni V = v + vn ning kvadrati bilan tenglashtirilsa u sin 9 = t>0 sin в 0 (3 .5 9 ) ekanligi topiladi. D em ak , / va m. sistemalardagi uchib chiqish burchaklari ( в va 0O) quyidagicha b o g ia n g a n ekan: u0 sin 60 e = (3.60) V + ц, cos 0(l Bu form ulani 0, ga nisbatan yechib, burchaklar orasidagi teskari bog'la- nishni ham topish qiyin emas: cos ft, (3 .61) Bu ycrdagi ± ishora yana un va V tczliklar orasidagi munosabatga b o g iiq . 3 .5 .2 - m is o l. Ikkita zarrachaning elastik to'qnasliishi natijasida biridan ikkinchisiga uzatilgan energiya va impulsni toping. Zarrachalarning / sistemadagi to'qnashishgacha impulslarini p, va p,, t o ‘q n a sh ish d a n k eyin gi im pu lslarin i p, va p, d eb o laylik . I m p u ls n in g saqlanish qonu ni bo'y icha Pi + P2 = Pi + P V (3 .6 2 ) T o 'q n a s h u v elastik, d e m a k , to'q n a sh u v natijasida zarrachalarning ichki holatlari o'zgarmaydi. w -sistem ada to'liq impuls ham m a vaqt nolga teng: Pm + Po: = p’i,i + p’ii? = 0 , bu degani, to'qnashishdan oldin va keyin zarracha larning impulslari son jihatdan o'zaro teng va qarama-q arshi yo'n algan bo'ladi (3.8-rasm ga qarang): I p,n 1=1 Po; I-1 Pm 1=1 P m : L J. 7- rasm. S o c h ilish jarayon i: tezlik la r va im pulslar. 68 Bu e s a o ‘z navbatida, u la r n in g e n ergiyalari h a m o ' z g a r m a s l i g i n i b il d i- radi. D e m a k , w - s i s t e m a d a t o ‘q n a s h i s h b o r ~ y o ‘g ‘i zarra ch a la rn in g y o ' n a - lish larin in g o 'z g a r i s h i g a o li b keladi. 3 . 8 - r a s m d a k o 'r s a tilg a n id e k m — s i s t e m a d a za r r a c h a la r n in g t o ' q n a s h i s h n atija sidagi o g 'i s h b u r c h a g in i 0() deb b e lg i la y l ik . B u b u r c h a k n i t o p i s h m a s a l a s i n i a l o h i d a k o ‘rib c h i q d i k ( - g a qa ra n g ). Ikki jism u c h u n inersiya markazi sistem asiga o ‘tish fo rm ula la rini eslaylik: in, r, + in-, r-, = 0, r = r, - r2. ( 3 . 6 3 ) B u n d a r,, r, — zarrachalarin in g m - sistem adagi koordinatlari. Bu fo rm u - lalardan vaqt b o ‘y ic h a h o sila o linsa m , v , 0 + m2v 20 = 0 , v = v UJ- v 20 - ( 3 . 6 4 ) Ik k in c h i m u n o s a b a t n i v = v (— v, d eb h a m y o z i b o i i s h m u m k i n ( m - s i s t e m a n i n g /- s is t e m a g a nis b a ta n t e z lig in i Y deb o li n s a \ . = 0+ V b o ‘ladi). ( 3 .6 4 ) fo r m u la d a n Ml) 1Щ m ------ -----V = -----V, nif + m2 mx v 2U = m, m -------- !-----v = -------- у Hl| + nil r>h ek anligi kelib ch iq ad i, bu yerda m = m 1/n2/ ( » J 1+ w , ) Z a r r a c h a l a r d a n b ir i n i ( m 2 m a s s a l i s i n i ) t o ‘q - n a s h i s h d a n o l d i n q o ' z g ' a l m a s d a n t u r i b d i d e b o l a y l ik (s h u z a r r a c h a q o ‘z g ‘o I m a s d a n tu r g a n s i s t e m a / - s i s t e m a d e b q a r a la d i ). Y a n i , v = v r I m - pu ls la rg a o ‘tilsa Pi = P l + P 2 b o ' l a d i . U n d a n t a s h q a r i v ’, = v ' l 0 + V v a v'2 = v'2 0 + V f o r m u l a l a r n i n g b i r i n c h i s i n i m, ga va ik k in c h is in i m 2 ga k o 'paytir ilsa p j 0 = ~ P ' 2 o n ' h is ob ga o lg a n hoid a ( 3 .6 5 ) keltirilgan massa . 3.8- rasm. m -s iste m a d a z a r r a c h a la r n in g im p u lsla r i. m ; P io + — Pi- m-. Download 132.13 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|