Nazariy fizika kursi

e k a n li g id a n   fo y d a l a n ib
dt 
2
(2.11)
\ 
7

2 .2 .  Impulsning  saqlanish  qonuni
F a z o n in g  bir jinsliligidan  kelib chiqadigan saqlanish  q o n u n in i  keltirib 
chiqaraylik.  K o 'r i b   chiqishni  D e k a rt  k o o rd in a t  sis te m asid an   boshlaylik. 
F a z o n i n g   bir  jinsliligi  s h u n i  bildiradiki,  sistem ani  b u tu n lig ic h a   (uni 
b u r a m a s d a n   y a ’ni,  o ‘ziga  parallel  qilib)  bir  n u q t a d a n   ikkin ch isig a  k o ‘- 
c h i r i l s a   s i s t e m a n i n g   h o l a t i   o ‘z g a r m a y d i .   B u n d a n   u n i n g   L a g r a n j 
funksiyasi  h a m   o ‘z ga rm aydi  degan  m a ’no   kelib  ch iq ad i.  S iste m a n in g
o 'z ig a  parallel  k o 'c h irish n i  r(,  —»r/,  =r„  + e   k o 'r in is h d a  ifodalash  m u m ­
kin.  B izning  m a q sa d im iz g a   cheksiz  kichik  k o 'c h ir is h   yetarli  b o i g a n i  
u c h u n   e  ni  cheksiz  kichik  o 'z g a rm a s   v ek to r  deb  q aray m iz.  S iste m a ga
k irg a n   h e c h   b i r   n u q t a n i n g   tezlig i  o 'z g a r m a y d i :   r u  =  ra .  L a g r a n j  
funksiyasining  o 'z g a rm a slik   sharti  quyidagi  k o 'r in is h n i  oladi:
ekanligiga  kelam iz.  Bu  fo rm u la n i  esa  h a ra k a t  t e n g la m a la r i  y o rd a m id a
esa  s iste m a n in g   t o ‘liq   im pulsi  deyiladi.  (2.14)  fo r m u la   esa  s iste m a n in g  
t o 'l i q   im p u lsi  s a q l a n u v c h a n   kattalik  ekanligini  k o 'r s a ta d i.
U m u m l a s h g a n   k o o rd in a ta la r  sxem asida  o 'ts a k ,  Lagranj  fu n k s iy a­
sining  u m u m la s h g a n   tezliklar  b o 'y i c h a   hosilasi
(
2
.
12
)
K o 'c h ir i s h   vektori  e   ixtiyoriy  b o 'lg a n i  u c h u n
(2.13)
(2.14)
k o 'rin is h g a   keltiram iz.  Y ig 'in d ig a  kirgan
(2.15)
kattalik  a  —  n u q ta n in g   im pulsi  deyiladi,
(2.16)

umum lashgan  im puls  deyiladi.  H arakat  tenglam alari  u larning  tilida
P ,= i= - 
(2.18)
dq,
k o 'rinishga  ega  bo'Iadi.  Agar  Lagranj  funksiyasi  b iro r  q.  ga  bo g 'liq  
b o 'lm a s a   uni  sik lik   koordin ata  deyiladi.  K o 'rin ib   turibdiki,  m a n a   shu 
siklik koordinataga  mos keluvchi  um um lashgan  impuls p. u c h u n   tenglama
Pi  =  0  ko'rinishga  ega  bo'Iadi,  b u n d a n   u m u m la s h g a n   im puls p. saqla-
n u v c h a n   kattalik  bo'Iadi  degan  m a ’n o   kelib  chiqadi.
(2.19)
2 .3 .  Inersiya  markazi
Bizga  massalari  m r  m2,  .  .  .  ,  mr  b o 'ig a n   n  ta   m o d d iy   n u q ta d a n  
i b o ra t  yo p iq   sis te m a   berilgan  b o 'is in .  S h u   siste m a   u c h u n   m a s o fa  
o'Icham ligiga  ega  b o 'ig a n   quyidagi  kattalikni  tuzaylik:
Х « Л
R  = - ^ -----
L ma
a
U n d a n   vaqt  b o 'y ic h a   hosilani  V  deb  belgilaylik:
R = v '  x - /  
(2-20)
a
Mahrajdagi  sistem aning  to 'liq   massasini  M d e b   belgilansa,  olingan 
fo r m u la d a n   quyidagi  form ula  hosil  bo'Iadi:
MV = X w«v„ = X  p«. 
(2.21)
и 
a
Im puls  -   additiv kattalik,  sistemaga  kirgan  nu q talarn in g   im pulslarining 
yig'indisi  sistem aning  to 'liq   im pulsiga  teng:
Xp«=P’ 
(
2
.
22
)
a
void
P  =   MV. 
(2.23)
D e m a k ,  sistem aga  massasi  M ,  tezligi  V va  radius-vektori  R b o 'ig a n  
b itta  m o d d iy   n u q ta d e k   qarashim iz  m u m k in   ekan.  (2.19)  fo rm u la orqali
41

kiritilgan  ra d iu s - v e k to r siste m an in g   in ersiya m a rk a zi deyiladi.  V  tezlik 
esa  jis m n in g   b ir-b u tu n lig ic h a   ilg arilanm a  h a r a k a t  tezligi  b o 'ladi.
Ikkita  К  va  / i s a n o q   sistem ani  kiritaylik,  u larn in g   ikkinchisi  birin- 
chisiga  n isb a ta n   o ‘zgarm as  V0  tezlik  bilan  harak at  qilayotgan  bo'lsin. 
Bu  h o id a   h a r   bir  n u q ta n in g   K v a K '  sistem alardagi  radius-vektorlari
r« = r « + V  
(2-24)
m u n o s a b a t   orqali  b o g 'la n g a n   b o 'la d i.  Inersiya  m arkazlari,  siste m aning 
bir b u tu n lig ic h a  tezliklari va  impulslari  u c h u n   esa quyidagilarga  egamiz:
R n =R;, + 
V0r, 
V „ = V 4 V 0, 
P = P 
4 M V 0. 
(2.25)
^ s i s t e m a d a   \ T/=   0 
b o 'l s i n .   B u  d e g a n i ,  
K '  
da  s i s t e m a   b ir 
b u tu n lig ic h a   q o ‘z g ‘o l m a s d a n   turibdi,  u n in g   to 'liq   impulsi  h a m   nolga 
teng.  B u n d a y   san o q   sistem asi  in ersiya  m a rk a zi  sistem asi  deyiladi.  Bu 
h o id a   siste m a  b ir  b u tu n lig ic h a   К  ga  n isb a ta n   o 'z g a rm a s   V(i  tezlik  (va, 
d e m a k ,  o 'z g a r m a s   im puls  P )  b ila n   h a r a k a t  qilayotgan  b o 'lad i.
U z liksiz  ta q s im la n g a n   h a jm i  V  va  zichligi  P(r)  b o 'lg a n   sistem a 
u c h u n   inersiya  m ark a zi  quyid ag ich a  ifodalanadi:
J d V p ( r ) r
R = K
j¥7i^)'
 
(2-26)
у
B ir b u tu n lig ic h a   q o ‘zg‘o l m a s d a n   tu rg a n   siste m an in g   energiysi  unga 
kirgan  z a r r a c h a la r n in g   ichki  h a ra k a t  kinetik  energiyasi  va  o 'z a r o   t a ’sir 
p o te n s ia i  ene rg iy asid an   tashkil  to p g an .  U   siste m an in g   ichki  energiyasi 
deyiladi.  Inersiya  m a rk a z i  sistem asida  siste m an in g   energiyasi  u n in g  
ich k i  en e rg iy asig a  teng. 
К  
va 
K '  
s a n o q   s is te m a la rid a   en e rg iy a la rn i 
b o g 'laylik:
£  = - 1  maу;  + и   = -  X  
К   + v 0 )2  +
1
/  =
^  a 
^  a
=   Г  X  m « v «2  + X  m « v «  -V0  +  “  
+  V   =
2  « 
« 
2 
(2.27)
=   E' + P"-V0  +  ^  M Y ц  .
Inersiya  m arka zi  sistem asida  P '  =   0  va  £ =   Ekhkj.  D e m a k ,
42

ichki 
2 
u
Bu  fo rm ulani  o ld in d an   h a m   yozib  o h sh im iz  m u m k in   edi:  h a ra k a t- 
dagi  sistemaning to'liq  energiyasi uning butunligicha ilgarilanma harakat 
kinetik  energiyasi  bilan  ichki  energiyasidan  tuzilgan  b o 'lishi  kerak.
2.3.1-misol.
  Massalari  bir  xil  b o'lgan  
n
  ta  nuqtalarclan  tu zilgan  yop iq  
s i s t e m a n i n g   in ersiya  m arkazini  to p i n g .
Javob:
R = ^ I X -  
(2.28)
2.3.2-m isol.
  Z ic h lig i  bir  u c h id a n   h iso b la n g a n d a   ax*  q o n u n   b o 'y i c h a  
o ' z g a r a d i g a n   va  u z u n li g i  L  ga  te n g   si m   berilgan  b o 'l s i n .  U n i n g   inersiy a 
m ark azin i  to p in g .
Javob:
L
f d x a x k+]
„ Л
---------= i ± I , . .
j
w
 
1 + 2  
< 2 2 9 )
о
2.3.3-m isol.
  R  radiusli  bir  ji n sli  a y l a n a n i n g   c h o r a g i  k o 'r i n is h ig a   e g a  
b o 'l g a n   in g i c h k a   p la s tin a n in g   in ersiy a  m a r k a z in i  t o p i n g   (k o o r d i n a t   b o s h i
—  a y la n a n i n g   m arkazida).
Javob: 
Inersiya  m ark azin in g 
jc
  —  koordinat asi:
R 
ж 12
Г dr? 2  I  dip cos (p
R
  - о 
о 
- 4R
R 
ж/2 
Ъ л '
(2.30)
J d r r   J  
dtp
о 
0
о 
-
4 R
у   -   k oord in ata  ham   h u d d i  s h u n d a y   q iy m a tg a   ega:
2.3.4-m isol. 
R  radiusli  s h a m i n g   y u q o r i  p a ll a s i n in g   inersiy a  m a r k a z in i 
t o p i n g .   S h a r   z i c h l i g i   m a r k a z d a n   m a s o f a n i n g   /с- d a r a j a s ig a   p r o p o r s i o n a l  
b o ' l s i n .
K o o r d i n a t a   m ark azin i  s h a m i n g   m ark a zig a   q o 'y ils a   m a s a la n in g   s i m m e t ­
riy asid an 
R x  =   R  = 0   ekanligi  kelib  chiq ad i.  Л.  quyid agiga  teng:

R
 
;г/2 
2л
Jdrr*4"3  |   d0sin0cos0  J d
R   =  £ — r ---------'2-
}- ------------- ^
------ =   -  —
 R.  
(
2 3 1
)
'• 
/   2 
2? 
2 k
 + 4
jd>r*~2  J   d0sin0 J  d
l' 
о 
и
ЗА’
Bir  jinsli  (k  =  0)  yarirnshar  uchun 
•
О
2 .4 .  H arakat  miqdori  m om entining  saqlanish  qonuni
F a z o n in g   izotropligi  bilan  bog 'liq   b o 'ig a n   saq la n u v c h a n   k attalikni 
keltirib  chiqaraylik.  F a z o n in g   izotropligi  shuni  bildiradiki,  s is te m a   bir 
b u t u n l ig ic h a   b i r o r   b u r c h a k k a   b u rils a   u n i n g   xossalari  o 'z g a r m a y d i .  
S h u n g a   k o 'r a ,  siste m an in g   L agranj  funksiyasi  h a m   o'z g arm aslig i  kerak.
B uralish  b u rc h a g m i 
o 'z g a r m a s   va  cheksiz  kichik  deb  q araym iz. 
B uralish  q a n d a y d ir   b ir  y o 'n a lis h   —  o 'q   atrofida  roy  berishi  kerak, 
d e m a k   u nga v ek to r kattalik  m os  kelishi  kerak.  Shu  boisdan  Sep  buralish
vektori  d e g a n d a   son  q iym ati  buralish  burchagi  |<5
ga  va  y o 'n a lis h i 
buralish  o 'q ig a   m os  keluvchi  v e ktorni  k o 'z d a   tutam iz.
V e k to rla r  algebrasining  qoidalari  b o 'y i c h a   ixtiyoriy  n u q t a n i n g   r ; 
radius-vektori  8(p  b u r c h a k k a   b u rilg a n d a   quyidagicha  o 'z g a ra d i:
Г,'  = ru + S r ,  = 
r„ 
+ [Spr,, ]. 
(2.32)
S h u n g a   k o 'r a   tezlik  u c h u n   h am
= '*u+5va =
 v« + [^pva]. 
(2.33)
r-~^r 
ga  ega  boMamiz.  B uni  yoki  avvalgi  fo r m u l a d a n   vaqt 
b o ' y i c h a   h o s i l a   o l i b ,   y o k i   v e k t o r l a r   a l g e b r a s i  
‘!  /  
q o idalarini  bevosita  tezlik  vektori  v.(  ga  q o 'l l a b   olish
‘/  
m u m k in .  D e m a k .  sistem ani  b u tu n lig ich a  k ich ik   8(p
b u rc h a k k a   burd ik ,  b u n d a   sistem aga  kirgan  h a r   bir 
m o d d iy   n u q ta n in g   radius-vektori  va  tezlik   vektori 
y u q o r i d a g i   q o i d a l a r   b o ' y i c h a   o ' z g a r d i .   A m m o  
^Buralish 
s iste m a n in g   Lagranj  funksiyasining  o 'z g a ris h i  nolga 
burchagi. 
t e n §  bo'isin:
44

H a ra k a t  ten g lam alarid an   va  uch  vektorlarning  aralash  k o 'p a y tm a s i 
q o id asid an   foydalanib,  bu  tengiik  qulay  ko'rinishga  keltiriladi:
( 2 . 3 5 )
K ichik  b urc hak 
5
 
ixtiyoriy  b o'lgani  uch u n   nolga  vaqt  b o 'y ic h a  
hosilali  k o 'p a y tu v e h in i  tenglashtirish  kerak:
Yig'indiga  kirgan  kattalikni  impuls (yoki,  h a ra k a t m iqdori)  m om enti
deb  ataladi:
O lingan  (2.36)  fo r m u la  esa fazon in g izotropligidan kelib   chiqadigan 
im puls  m om entining  saqlanish   qonunini  bildiradi.  Im p u ls   m o m e n t i  
v ektor  kattalik  b o 'lg a n i  u c h u n   uning  to 'liq   saqlanishi  u c h t a   saqlanish 
q o n u n in i  beradi  -   А/ ,  M ,  М..  Lekin  h a m m a   vaqt  h a m   fazo  to 'liq  
izotrop  b o 'lave rm aydi.  Tashqi  m a y d o n   u m u m a n   o lg a n d a   izotporlikni 
buzadi.  A m m o   b a ’zi  bir  h ollarda  tashqi  m a y d o n   m a ’lu m   bir  y o'na lish 
b o 'y ic h a   izotroplikni  saqlab  qoladi.  Bu  h olda  im puls  m o m e n tin i n g  
shu  y o 'n a lis h   b o 'y ic h a   k o m p o n e n ta s i  saq la n u v c h a n   bo'ladi.  M asalan, 
markaziy m aydonni  olaylik.  Markaziy m aydonda jismga  ta ’sir qilayotgan 
k u c h   faqat  m arka zgac ha  b o 'lg a n   masofaga  bog'liq  b o 'la d i.  Bu  h olda 
sistem aning  xossalari  m a rk a z d a n   c h iq q a n   ixtiyoriy  o 'q   atrofida  aylan- 
g a n d a   o 'z g arm ay d i.  Shutiga  k o 'r a ,  m o m c n t n m g   m a rk a z d a n   c h iq q a n  
ixtiyoriy  o 'q q a   proyeksiyasi  saqlan u v c h an   kattalik  b o 'lad i.  B uni  (2.35) 
dan   k o'rish  m u m k in .  Ixtiyoriy  shunday  bir  o 'q n i   olib,  u n i  z  o 'q i  deb
(2.36)
U
(2.37)
и

b e l g i l a y l i k .   B u   h o i d a   b u r a l i s h   b u r c h a g i   5(p  =   { 0 , 0 , 5
 }   k o ' r i n i s h g a   e g a  
b o ' l a d i .   S h u n g a   k o ' r a   ( 2 . 3 5 )   d a g i   s k a l a r   k o ' p a y t m a
5(P i ~ ^ h P a l = 0  
( 2 . 3 8 )
a
k o ' r i n i s h n i   o l a d i .   B u   d e g a n i   e s a ,   b u   h o i d a   s a q l a n u v c h a n   k a t t a l i k   M  
e k a n l i g i n i   b i l d i r a d i .   M a r k a z i y   m a y d o n d a   z   o ' q i   s i f a t i d a   i x t i y o r i y   o ' q n i  
o l i s h   m u m k i n .
2 . 4 . 1 - m i s o l .   { M x , M y , M z }   larni  silindrik   k o o rd in a t la r  orqali  if o d a la n g .
D e k a r t   ( x , y , z )  
va  s i lin d r ik   ( r , ( p , z )   k o o r d in a t la r   q u y i d a g i c h a   b o g ' ­
langan:
x  =   rc o s ( p , 
y 
=  rs \rup, 
z  =   z. 
( 2 . 3 9 )
А /  ni  topaylik:
M ,   =   y p .   - z p x  =  m ( y z  -   z y )  =  m (/" sin  (pz -   z r  s in  < p -   z r  c o s  <рф) =
. 
,  . 
... 
( 2 . 4 0 )
=   hi sin 
cp(rz -  z r )-  mzr
 cos 
qxp.
H u d d i   sh u   y o ' s m d a   b o s h q a   k o m p o n e n t a l a r   h a m   top iladi:
M v  =  z P i   -  x p ,   =  m ( z x  -  x i )   =  m  c o s  < p ( z r -   r z )  -  m z r  s in
M_  = x p y  - y p t  = m(xy -  yx)  = 
(2 - 4 1 )
=   m \ r c o s (p ( r  s in   (p +   г ф c o s i p )  — /  sin  cp(r c o s  
  rsin  
т г 2ф.  ( 2 .4 2 )
Bu  m i s o l d a n   bir  fo y d a l i  m u n o s a b a t   keltirib  c h iq a r ish i  m u m k i n .   Agar 
m o d d i y   n u q t a n i n g   silindrik   s i s te m a d a g i  Lagranj  fu n k s iy a sin i
£  =  y  [
x
2  +  j 2  +  i 2 ) -  u (-v> J .
=   ~  ( r 2  +  г 2ф 2  +   r ) -  U ( r ,
ф
, z )   ( 2 . 4 3 )  
y u q o r id a   t o p i lg a n   Л/  bilan  taq q os lan sa
dL
M . -  —  = m r ( p
 
( 2 .4 4 )
e k a n l i g i   t o p i l a d i .   D e m a k ,   u m u m l a s h g a n   (p  k o o r d i n a t a g a   m o s   k e l u v c h i  
u m u m l a s h g a n   im p u ls   M.  ga  ten g   b o i a r   ekan:  p 9  — M _ .
2 . 4 . 2 - m i s o l .  
{ Л / ,   M ,  M )   larni  sferik  ko o rd in a tla r  orqali  ifod ala n g. 
D e k a r t  (x ,  y ,   z)  va  sferik  ( г , ( р , в )  
ko o rd in a tla r  q u y id a g i c h a   bog'la n g a n :
46

х =  /'c o s ф sin в, 
v  =  r sinф sin 0, 
: =  r c o s 0 . 
( 2 . 4 5 )
B iz g a   x ,   у  
va  Z  lar  kerak  bo'lad i.  U la r   q u y id a g ic h a   h is obla nadi:
x
 =  г cos 
 sin 0 -  гф sin 
 sin 0 + rQ cos 
 cos 0;
у   =  r sin ф sin 0 + гф cos 
( 2 . 4 6 )
z  =  r 
cos 
в -  гв  sin в.
N a v b a t m a   navbat  har  bir  k o m p o n e n t a   topiladi:
M x  =  yp t  -  z p v  = m{yz -  zy) = - m r 1  ( 0 sin 
<0
 + 0 s in 0 c o s 0 cos ^>); 
(2 .4 7 )
M x  - z p x - x p .   =  m (z.x- xz)  =  m r 2  ( 0 coscp- ф sin 0 c o s 0  sin 
(2 .4 8 ) 
M .  -   x p t  -  y p t  = m(xy -  yx)  = mr'  sin"  вф. 
( 2 .4 9 )
M o d d i y   n u q ta   Lagranj  fu n k siyasin in g  sferik  s i ste m a d a g i  if o d a sin i
L = — (.v2  + y 2  + z2 ) - l / ( . v .  г .г) = ~ ( ' 2  + Г2ф2  sin2  0 + r 26 2 'j-U (r,< p ,e ) 
( 2 . 5 0 )  
( 2 .4 9 )   b ila n   taqqosla nilsa,  y a n a
dL
( 2 . 5 1 )
e kanligi  top ilad i.  B u  koordin atla rda  h a m   
 koord in ataga  m o s   k e lu v c h i  u m u m ­
las h gan   im p u ls  m o m e n t n i n g   z   ~   k o m p o n e n t a s i g a   t e n g   b o 'l ib   chiqdi:
P<
p
  = M z-
2 .5 .  Virial  teorem a
F in it  h a ra k a t  qilayotgan  m o d d iy   n u q ta l a r d a n   iborat  siste m an i  olib 
qaraylik.  B u n d a y  sistemadagi  h e c h  bir jism  vaqt o'tishi bilan  chesizlikka 
ketib  qolm aydi.
Agar  siste m aning  potensial  energiyasi  o 'z   o 'z g aru v ch ilarin in g  
k -  
tartibli  bir jinsli  funksiya  b o 'lsa,  y a ’ni
U (ar, ,a r2,...,arH) = a kU (r, .r2,...,r)I), 
(2 .5 2 )
k in etik ,  p o te n s ia l  va  to 'liq   e n e rg iy a la rn in g   v a q t  b o 'y i c h a   o 'r t a c h a  
qiym atlari  ora sid a sodda  m u n o s a b a t  o 'r n a tis h   m u m k in .  B uning  u c h u n  
d ek a rt  k o o rd in a t  sistem asida  a  z a rra c h a   u c h u n   h a ra k a t  ten g lam asin i 
vozib  olavlik:
47

и  и 
и 
а 
- \  
( j ;
Эга 
v 
'
U ning  ikkala  t o m o n in i  r a ga skalar k o ‘paytirib,  h a m m a  zarralar b o 'y ic h a  
yig'indiga  o'tiladi:
I X v r , ,   = - ^ г и-Уи1] . 
(2.54)
il 
cl
C h a p   va  o i i g   t o m o n l a r   ustida  quyidagi  aim ashtirishiarni  bajaraylik. 
B irin ch id an ,
(2.55)
Ik k in c h id a n ,  potensial  energiya  к  tartibli  bir  jinsli  funksiya  b o i g a n i  
u c h u n   Eyler  teo re m asi  b o ‘yicha
( 2   5 6 )
(I
D e m a k ,
Vaqt  b o ‘yich a  o ‘rta c h a   q iy m at  ixtiyoriy  funksiya  /   u c h u n   quyi- 
dag ich a  t a ’riflanadi:
l r
f =   n m  - 1  fill. 
(2.58)
и
S hu  t a ’rif asosida  (2.57)  ning  ikkala t o m o n in i   o 'rta la sh tiram iz .  S istem a 
fa qat  finit  h a r a k a t  qilayotgani  u c h u n   c h a p   to m o n d a g i  birin ch i  h a d n in g  
o ‘rta c h a   q iy m a ti  n o lg a  te n g   boMadi.  N a ti j a d a   q u yidagi  ifo d ag a  k e- 
linadi:
I > !, U   =kU.  
(2.59)
a
K inetik  energiya  u c h u n
a
ekanligini  hisobga  olib  topilgan  fo rm ulani

2 
T   =  k U .  
(2.61)
k o 'r i n i s h d a   y o z ib   olish  m u m k i n .   T o 'l i q   e n e rg iy a n i  h a m   b u n d a y  
m u n o sab atlarg a  kiritilsa,  vaqt  b o 'y ic h a   o 'r t a c h a   qiym atlar  u c h u n
+  ~> — 
к +  2 -  
E = T + U  =
 
—~—U  =
 
—-— T
 
(2.62)
2 
к
m unosabatlarga  kelinadi.  Topilgan  niunosabatlar virial teorem ani tashkil 
q ila d i1.  U larn in g   hususiy  hollari  qiziqarlidir.  M asalan,  kichik t e b ra n ish ­
larga  o 'tilsa  к  =   2  bo'Iadi,  dem ak,
U   = T   =   - E .
2
G ravitatsion  va  kulon  elektr  m ay d o n larid a  potensial  U ~   ) / r   k o 'r i ­
nishga  ega,  y a ’ni  k = — 1.  Bu  hollarda
U   = - 2 T
va
F . = - f
bo'Iadi.  K inetik   energiyaning  h a m m a   vaqt  m usbatligidan  kelib  ch i- 
qadiki,  gravitatsion  va  kulon  m a y d o n la r id a   finit  h arakat  qilayotgan 
z a rra c h a n in g   to 'liq   energiyasi  m anfiy  b o 'l a r   ekan.
H a ra k a t  ten g lam asi  (2.53)  ga  qaytib  kelaylik.  (2.52)  ga  kirgan 
ko o rd in atlarn i  «cho'zish»
Г   — >  Г   — 
( Х Г  
» £, 
/   к ((
bilan  bir  v a q td a   vaqt  ustida  ham
i ~ ^ t '  = p t
 
(2.63)
alm ashtirish  bajarilsa,  harakat  te n g la m a n in g   c h a p   to m o n i   a / p   2  ga 
k o 'p a y ad i,  o 'n g   t o m o n i  esa  (2.52)  b o 'y i c h a   a k"x ga  k o 'pa yadi.  K o 'r in ib  
turib d ik i,
P = a'~kl2 
(2.61)
shart  bajarilsa  h a ra k a t  tenglam asi 
o 'z g a rm a y d i.  D e m a k ,  U  tashqi 
m a y d o n d a   z a r r a c h a   u c h u n   r ;(/)  funksiya  q a n d a y d ir   tra y e k to riy a n i
ifodalasa  г / ( У )   funksiya  h a m   huddi  shu  tashqi  m aydondagi  m u m k in