Nazariy fizika kursi
Download 132.13 Kb. Pdf ko'rish
|
|
dr„ dra ’ dva = HiV„ = m r n. (1.56) ( 1 . 5 7 ) (1.59) ( 1 . 6 0 ) 22 1 у , „ л r „ = i y , „ v У 2 uu ULjl i . j . k J K fo rm u la hosil b o i a d i . Agar S h u n g a k o ' r a 3/," Эf t . . 2 ( L 61> - V Ш . К . >k 2 j m° dq dqk (1-62) oj m„ l j 'ntk belgilash kiritilsa Lagranj funksiyasini 1 = j X aikчic]k ~ U{ch.....q' ] ( 1 -63) ko'rinishga keltirib olinadi, bu yerda л-erkinlik darajalari soni. K o 'rin ib t u r ib d i k i, u m u m i y h o id a kiritilg a n k o e f fits iy e n tla r u m u m l a s h g a n k o o rd in a tla rn in g funksiyalari b o i a d i : 1 . 5 . 1 - m i s o l . Lagranj funksiyasini sferik va silindrik siste m ala rda toping. D ek a rt sistem asid a Lagranj funksiyasi k o 'r inis hga eg a edi. Sferik sistem aga x a = r„ sin Qa co s cp,,, y„ = r„ sin0„ sin = ra co s0 „ (1 .6 5 ) form ula la r b o 'y i c h a o'tiladi. H a m m a hosilalarni hisobla b L = + r f d j - + r a2 s i n 2 0 , ( / > , / ) - ...) ( 1.66) a fo rm u la g a k ela m iz. Agar bitla m o d d i y nuqta h aq id a gap k eta yotgan bo 'lsa Y)\ ■ > "t • О T T I. = — (r" + + г sin" в ф ~ ) - 1 1 ( г , в , ( р ) (1 -67) ifoda sh u nu q tan in g sferik sistem ad agi Lagranj fu n ksiy asini beradi. Silin drik siste m aga kelaylik. Bu h o id a a„ = ra c o s a , y„ = ru sin ( 1 .6 8 ) fo r m u la la r d a n fo y d a la n ib 1 = “ ^ m u ('>a + ra Фа + ^ ) ~ U (■ r\ > Ф\ - z \ ’ • ■ •) ( 1 • 6 9 ) 23 ifodaga kelinadi. Bitta n u q ta n i n g Lagranj funksiyasi esa L = ^ - ( r 2 + г 2ф 2 + : 2 ) - U ( r . < p . z) (1 .7 0 ) k o 'r inis hga e ga bo'Iadi. S istem a ikki k ich ik ro q s is te m a la rd a n iborat b o 'isin: A va B. Shu ikki siste m ani b i r-b irid a n u z o q la sh tira borilsa u la r orasidagi o ‘zaro t a ’sir h a m k a m a y a boradi va cheksiz lim itd a uni nolga teng d eb qarash m u m k in . Y a ’ni, o 'z a r o t a ’sir q ilm a y o tg a n qism larga kirgan m o d d iy n u q t a l a r b i r - b i r i d a n m u s ta q i l b o 'i g a n h a r a k a t t e n g l a m a l a r i g a ega bo'lishi kerak. Bu degani Z 4 ga В ga taalluqli k o o r d i n a t a la r kirm ay d i va aksincha. Buni sistem aning u m u m iy Lagranj funksiyasi ikki qism orasidagi cheksiz lim itda lim L = La + L B (1.71) xossaga ega b o 'lis h i k erak d e b ifodalashi m u m k in . B u n d a y xossa additivlik xossasi deyiladi. Avvalgi p a r a g ra fn in g oxirida aytib o 'tilg a n xossa Lagranj fu n k siy asin in g ixtiyoriy songa k o 'p a y tiris h m u m k i n - ligining additivlik xossasi n u q tay i n a z a r id a n s h u n i b ildiradiki, h a m m a k o ‘p s i ste m a la rn in g Lagranj funksiyalarini bir v a q td a q a n d a y d i r b itta songa qaytarish m u m k in . T o p ilg a n xossa fizik k a tta lik la rn in g o 'l c h a s h birliklarini tanlashga tegishlidir — h a m m a z a rr a c h a l a r u c h u n bir birlik- lar s iste m a s id a n ik kinchisiga o 't il g a n id a Lagranj funksiyasi m a ’lum b ir songa k o 'p a v a d i. 1.6. B o g ia n ish la r b o‘lgan holda E yler—Lagranj tenglam alari Avvalgi p arag ra fd a k o 'rilg an hoi siste m ada b o g 'la n is h la r b o 'l m a - gandagi sodda vaziyatga m os keladi. B o g 'la n is h la r m avjud b o 'lsa , h a rakat tenglam alari qay d ara ja d a o 'z g arish i kerak? B irinchi n a v b a td a b o g 'la n ish la rn in g klassifikatsiyasini keltiraylik. N ta zarrachali sistem ani ko'raylik. U n i n g erkinlik darajalari soni 3 N ga tengdir. S h u siste m ada к ta b o g 'la n is h la r bo'isin. A lbatta, к < 3 TV bo'lishi kerak. A gar b o g 'la n is h la rn in g ko'rinishi r 2, ..., r v t) = 0, / = 1, ..., к (1.72) b o 'lsa, y a ’ni, ularga tezliklar kirm a sa , b u n d a y b o g 'la n is h la r golonom b o g ia n ish la r deyiladi. 24 1.6.1-misol. S is te m a ikkita j i s m d a n iborat b o 'l s i n va sh u ji sm lar orasidagi m a s o fa o 'z g a r m a s va berilgan s o n / ga te n g bo'lsin: |r ,(f)-r 2(r)| = /. (1.73) 1.6.2-m lsol. Z a r r a c h a ra d iu s i R — g a t e n g v a m a r k a z i r0 n u q t a d a j o y l a s h g a n sferanin g ustida harak atlan m oq d a: ( x ( t ) - X 0 f + ( y ( t ) - y 0 )2 + ( z ( t ) - z 0) 2 = R 2 ■ ( 1 - 7 4 ) G o l o n o m bog'lanislilarga tezliklar bevosita k irm ag a n b o 'ls a h a m ular tezliklarni h a m cheklaydi. B u n g a ish o n c h hosil qilish u c h u n (1.72) ni vaqt b o 'y i c h a differensiallaylik: .....*• <■•*> ,/=i "’ j (1.72) bog'lanishlar tezlanishlarni h a m bog'laydi, buni ko'rish u c h u n (1.75) te n g lam an i vaqt b o 'y i c h a y a n a bir differensiallash kerak: .....*■ (1 7 6 ) M a ’lumki, jism ning tezlanishi va u nga t a ’sir qilayotgan k uch o 'z a r o proporsionaldir. Shu nuqtayi n a z a rd a n b o g 'lan ish lar sistem aga kirgan q i s m la r n i n g o ra sid a g i q o ' s h i m c h a k u c h l a r sifa tid a h a m q a r a lish i m um kin. Vaqtga bog'liq b o 'lm a g a n g o lo n o m bo g 'lan ish lar skleronom b o g ‘- lanishlar deyiladi, vaqtga bog'liq bo'lganlarini esa reonom bog'lanishlar deyiladi. Agar bog'lanishlarga tezliklar h a m bevosita kirsa: / ; ( r 1,r2,...,r/V,r1,r2,...r/V,/) = 0, i = \,...,k (1.77) va ularni integrallash yo'li bilan (1.72) k o 'rinishga keltirish m u m k i n b o 'lm a s a b u n d a y b o g 'la n is h la r nogolonorn yoki integrallanuvchanm as b o g ‘lanishlar deyiladi. 3 /V o 'z g a ru v c h ila r r p ..., r iV n ing к tasi h a ra k a t teng lam alarid an em as, ynqoridagi sh a rtla rd a n topiladi. B u n d a n h arak at te n g lam alarining h a m faqat 3jN — к tasining mustaqilligi kelib chiqadi. B o g 'lan ish lar bilan q a n d a y ishlash kerak? B irinchi fikr — ularni o s h k o ra h o ld a yechib k o o r d in a ta la rn in g к tasini b o sh q a k o o rd in a tla r o rqali ifodalab olish m aq s a d g a m u v o fiq b o 'l a r edi. A m m o , n o g o lo n o rn b o g 'la n is h la r yechib b o 'l m a y d i g a n m u n o s a b a tla r turiga kiradi. G o l o - 25 n o m b o g 'l a n i s h l a r n i n g h a m b a ’zi-b irla ri b ila n y e c h il m a g a n h o l d a ishlash q u la y ro q bo'lishi m u m k in . S h u n in g u c h u n b o g 'la n is h la r paydo b o 'l g a n d a Lagranj fo rm a liz m i shu b o g 'la n ish la rn i hisobga olish u c h u n q a n d a y o 'z g arish i kerak d egan savolga jav o b beraylik. B o g 'la n is h la r b o 'ig a n h olda eng qisqa t a ’sir prinsipi quyidagi k o 'r i nishga k e ltirila d i.G o lo n o m holdan boshlaylik va m e to d n in g m ohiy atin i avval s o d d a m iso ld a k o 'rib chiqaylik. B izga f { x , y ) fu n k s iy a b e rilg a n b o 'is in . F u n k s iy a m i z n in g b ir o r n u q t a d a e k s tre m u m i m avjud bo'lishi u c h u n shu n u q ta d a bo'lishi kerak. dx va dy lar m ustaqil va ixtiyoriy bo'lg an i u c h u n bu n u q t a d a bo'lishi yetarli va zaruriydir. Endi funksiyaning e k s tre m u m i quyidagi shart b ajarilga nda aniqlanishi kerak bo'isin: dg / Эу dg / dx k o 'r in is h id a y ozib olinadi, b u y erda A n o m a ’l u m k o n sta n ta . L ekin u faqat x, у o 'z g aru v ch ilarg a nisbatan k o n stan ta, agar m asa la d a qanclaydir ( 1 . 7 8 ) (1 .7 9 ) SU, v) = 0 . Bu d eg a n i dx va dy o r ttirm a la r e n d i m u staqil em a s balki ( 1 . 80 ) Эл- ' Эу ( 1.8 !) s h a r td a n kelib ch iq ad ig a n dx dg ! dy dy Э(? / Эх (1.82) m u n o s a b a tg a b o 'y s u n g a n . D e m a k , e k s tre m u m n u q ta sid a df / Эу _ dg / dy df / Эх dg / Эх (1.83) b o 'lishi kerak. Buni df I dy _ df I dx (1.84) 26 p a r a m e trla r b o 'ls a n o m a ’lum Я ularga b o g ‘liq b o ‘lishi shubhasizdir. K o n s t a n t a pay d o b o ‘lishining sababi shuki, bu ten glikning c h a p va o ‘ng to m o n la r i ikkita h a r xil funksiyalarning turli xil a r g u m e n tla ri b o 'y ic h a xususiy hosilalarining nisbatlaridir, x ,y arg u m e n tla rn in g ixtiyo riy q iy m atla rida bu tenglik o ‘rinli b o 'lishi u c h u n bu n isbatlar faqatgina o 'z g a rm a s son bo'lishigina m u m k in , uni (—Я) deb belgiladik. D e m a k , f (x,у) ning g = 0 shart bajarilgandagi e k s tre m u m i (shartli ek stre m u m i) t e n g la m a la r d a n topilishi kerak ekan. A m m o bu fo r m u l a la r / + X g funksiyaning h e c h q a n d a y shart yo'qligidagi oddiy e k stre m u m i u c h u n te n g lam alarn in g o'zidir. P a y d o b o 'ig a n kattaiik Я L agran j k o ‘p a ytu v- chisi deyiladi. Bu k o 'p a y tu v c h in i kiritib shartli e k s tre m u m masalasini shartsiz e k s tre m u m masalasiga o 'tk a z d ik , a m m o b u ning u c h u n m asa- ladagi n o m a ’lu m la r sonini bittaga ko'paytirishga t o 'g 'r i keldi, ch u n k i Я yangi n o m a ’lum , uni h a m a niqlash kerak. M asaladagi o 'z g a ru v c h ila r va t e n g la m a la r soniga aniqlik kiritaylik. U c h ta m ustaqil o'z g aru v ch i x ,y, Я bor. U larni aniqlash u c h u n u c h t a t e n g la m a m avjud (1.85) ga kirgan ikkita ten g lam a va g = 0 shart. S h u s o d d a m isolni u m u m la s h tirib quyidagi sxem aga kelam iz. Bizga (1.72) b o g 'lan ish berilgan bo'isin. U la rn i u m u m la s h g a n k o o rd in a tla r k o 'rin ish id a yozib olaylik: Bu b o g 'lan ish larn i Lagranj k o 'p aytuvchilariga k o 'p a y tirib u n d a n integral olamiz: dx dx dv dv (1.85) ( 1.86) (1.87) i= a T a ’sir variatsiyasining nolga tengligi shartini esa quyid ag ich a yozib olinadi: V ariatsio n prin sip d a r o 'y b e r g a n o ‘zgarish s h u n d a n iboratki, Lagranj funksiyasi o'zgardi: L - t L ^ L + j ^ M q j ) , (1.89) / = 1 t a ’sir integrali h a m o ‘zgardi: S - * S ' = fdrL' . (1.90) M a n a sh u yangi t a ’sirga e n g q isq a t a ’sir p rinsipi q o 'l l a n i l s a yangi E y le r—Lagranj teng lam alari hosil b o 'ladi: £ - £ * 1 . 0 . , - , . . . . . 3 * . 0 . 9 1 ) acji d t a q i B o g 'la n is h la rn in g k o 'rin ish i (1.86) ekanligini hisobga olinsa, olin g an te n g la m a la r avvalgi Eyler— Lagranj t e n g la m a la r id a n bitta q o 's h i m c h a had bilan faqr qilishini k o 'ra m iz : d dL dL df: --------------- = > Я,- —^ , ? = 1,__ 37V. П 92) dtdq, d4i f t ' d q , H a r a k a t ten g lam alari sistem asiga q o 's h i m c h a te n g la m a la r n i q o 's h i b q o 'y is h kerak: f l ( q , t ) = 0. j = \ , . . . , k . (1.93) S h u y erda aslida A. =A.(/) b o 'lish i m u m k in ekanligini aytib o 't i s h kerak (buni quyida keltirilgan m isollarda y a n a k o 'r ib o 'tiladi). Y u q o rid a aytilgan ediki, A. m asaladagi o 'z g a a i v c h i l a r (bizning h o lim iz d a q. lar) ga n isb atan mustaqil o 'z g a ru v c h i, a m m o m asaladagi b o s h q a p a r a - m e trla rg a bog'liq bo'lishi m u m k in . V ariatsion prin sip d a A. h a m ishtirok etishi u c h u n un i u m u m iy h o ld a v aqtga b o g 'liq deb h iso b lash kerak. (1.93) te n g la m a la r berilgan sh artlard ir, a m m o u sh b u y o n d o s h i s h d a u la r g o 'y o k i q o 's h i m c h a te n g l a m a la r rolini o 'y n a y d i. U la rn i v aria tsion p rin s ip d a n olish u c h u n t a ’sir f u n k s io n a lin i A larni yangi o 'z g a ru v c h ila r deb u la r b o 'y i c h a variatsiyalash kerak: dS = 0 « / . = 0, j = \ .......k. (1.94) <5A A t) ]' H a ra k a t tenglam alari d e g a n d a (1.91) — (1.93) t e n g l a m a l a r siste m asini k o 'z d a tutish kerak. T e n g la m a la r va n o m a ’lu m la r sonini solishti- 28 raylik. A w a l id a 3N — к ta m ustaqil o ‘zgaruvchi b o r edi: 3N ta q. lar к ta b o g i a n i s h l a r g a boysungan. Y angi fo rm a liz m d a 3jV + к t a mustaqil o ‘zgaruvchilar bor: 3N ta q. va к ta Я. T e n g la m a la r soni h a m 3N + к taga teng: 3 N ta (1.92) va k ta (1.93) tenglam alar. N o g o l o n o m b o g i a n i s h l a r g a o 'ta y lik . U l a r b ila n is h la s h usuli y u q o rid ag id a n farq qiladi. O d a td a , n o g o l o n o m b o g ia n i s h la r g a tezliklar chiziqli h o ld a kiradi: k o ‘rinishga ega b o i a d i . Yaqqol k o 'rin ib turibdiki, koordinatalarim izning variatsiyalari 5qj m ustaqil em a s, u l a r yuqoridagi к ta m u n o s a b a tg a b o 'y su n g a n . Bu h o ld a Lagranj k o ‘p aytuvchilarini bevosita t a ’sim in g variatsiyasiga kiritamiz: k o ‘rinishni oladi. B i r i n c h i q a r a s h d a g o l o n o m v a n o g o l o n o m h o l l a r d a h a r xil t a r z d a g i y o ‘l t u t g a n i m i z d e k b o i i b k o ‘r in s a h a m o l i n g a n h a r a k a t t e n g l a m a l a r i ik k a la h o l d a h a m b i r xil k o ‘r i n i s h g a eg a b o i a d i . H a q i q a t a n h a m , (1 .7 2 ) g o l o n o m s h a r tn i (1 .7 5 ) k o 'r i n i s h d a y o z ib o l in s a u n o g o l o n o m b o i g a n (1 .9 5 ) s h a r t k o ‘rin i s h i n i o la d i, (1 .7 5 ) d a n (1 .9 5 ) ga o 't i s h u c h u n d e b yozish kerak. Bu (1.92) bilan (1.98) ning bir-biriga m os ekanligini k o ‘rsatadi. (1.95) A gar bu bogManishlarni <5/ ga k o £paytirilsa ular к (1.96) (1.97) N a tija d a E y ler—Lagranj ten g lam alari (1.98) H a ra k a t te n g la m a la r i bir xil k o 'rin ish g a keltiriigan b o 'lis h ig a qara- m a s d a n g o lo n o m va n o g o l o n o m sh artlarning o ra sida b o s h q a fa rqlardan tashqari y a n a b itta k a tta farq b o r — ikkala h o id a s is te m a n in g erkinlik darajalari s o n ig a h a r xil y o n d o sh is h kerak. Bu m asa la « Q a ttiq jism» 1 .6 .3 -m iso l. S h i p g a o s i b q o ' y i l g a n m a y a t n i k k o ' r s a t i l g a n . K o o r d i n a t o 'q l a r i 1 . 1 - r a s m d a k o ' r s a t i l g a n . M a y a t n i k ikki o ' l c h a m l i ( x , y ) t e k i s l i g i d a h a r a k a t q i la y o tg a n b o ' i s i n , sh u sababli u n i n g koor- d i n a t la r i n i (x, y ) d e b b c l g i l a y l i k . Y a ’ni, m a y a t n i k n i n g u c h i d a g i m o d d i y n u q t a n i n g 2 la e r k i n l i k d a r a j a s i b o r . A m m o b it ta b o g ' l a n i s h b o r x l + y 2 = l \ ( 1 .9 9 ) b u n d a / m a y a t n ik n in g u z u n li g i. Bu — skle- r o n o m b o g ' l a n i s h . D e m a k , m a y a t n i k n i n g m u staq il erkin lik darajasi bitta, sh u erkin lik darajasi sifa tida, o d a t d a , burchak cp olin a d i. H a q i q a t a n h a m , x = / cos (1 .1 0 0 ) m u n o s a b a t l a r ( 1 . 9 9 ) b o g ' l a n i s h n i n g y e c h i m i n i beradi. Harakat te n g la m a la r in i tahlil qilaylik. B iri n c h id a n Lagranj fu nksiy asini tuza ylik : s i s t e m a n i n g k in e t ik energiy asi r = - ( A - + y 2 ). ( 1 . 1 0 ! ) M a y a t n i k n i n g p o t e n s i a i e n e r g iy a s i Y e r tortish ish k u c h i b il a n a n iq l a n a d i , p o te n s ia i e n e r g iy a n i у = I n u q ta d a n olg a ten g d eb o lin sa U = m g (I - y ) = m g l + U ' ( 1 . 1 0 2 ) if o d a h o s i l b o ' l a d i . Lagranj fu n k s iy a sig a kirgan o ' z g a r m a s s o n n i ta shla b yu b o r is h m u m k i n b o ' l g a n i u c h u n /. = T - U ' = ( . r + у 2 ) + m gy. ( 1 . 1 0 3 ) A g a r ( 1 . 9 9 ) n i n g y e c h i m i b o ' l g a n ( 1 . 1 0 0 ) f o r m u l a l a r n i b u Lagranj fu nksiy asiga q o 'y i ls a bitta m u staqil o 'z g a r u v c h i g a b o g 'l iq b o 'l g a n Lagranj funksiy asi topila di: b ob id a m u h o k a m a qilingan. 1.1- rasm. Mayatnik. L = — I (p + mg! cos qj. (1 .1 0 4 ) S h u y a g o n a o'z g a r u v c h i tilid a harakat te nglam ala rini tu zish qiy in em as: = —m g l sin < p , = т 1 2ф => (p + — sin < p = 0 . ( 1 . 1 0 5 ) dq> ' dtp I E n d i u m u m i y m e t o d g a o ' t a y l i k . U m u m i y m e t o d b o ' y i c h a L agranj fu nksiy asi q u y id a g ic h a yoziladi: fyj о т T О "> L = — U '" + >•") + m g y + \ { l ~ - x ( 1 . 1 0 6 ) N o m a ’lu m lar so n i u c h ta {.r. у , Я } . H ar biriga t o ‘g ‘ri kelu vch i harakat t e n g lam alarin i y o z i b ch iq a m iz : m x - — 2 X x , m y = — 2 X y + m g , 1 i2 X~ + V = I . ( 1 . 1 0 7 ) x va у u c h u n harakat te n glam alari o li n d i, X u c h u n esa u n in g vaqt b o ' y i c h a hosilasi kirgan t e n g l a m a y o 'q , d e m a k , bu o'z g a r u v c h i musta qil d in a m ik a g a e ga b o 'l g a n o 'z g a r u v c h i e m a s . T e n g l a m a l a r s i s te m a s in i y e c h i s h n i u n i n g u c h i n c h i s i d a n b o s h l a s h qulay: x = / sin = / cos q>. Download 132.13 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|