Nazariy fizika kursi

<0>
12. 
U ( r ) - -  
m a y d o n d a   R  m a so fa d a n   m a r k a z g a   tushish  va q tin i
r
toping.  Zarrachaning  boshlang'ich  tezligi  nolga  teng.
13. 
Cheksizjikdan   и  tezlik  va  p   nishon  p a ra m e tri  bilan  m,  m assali 
za r r a c h a   m 2  m a s s a li  q o 'z g 'o lm a s d a n   turgan  za rra c h a g a   tu shm oqda.  Ular
78

orasidagi 
o'zaro  ta'sir  potensiali 
U(r) =  air" , a > 0   ■
  Z arrachalar  orasidagi
eng  kichik  masofani  toping.
14.  Boshida  qo'zg'olmasdan  turgan  m  massali  zarrachaga  huddi  sh unday 
massali  zarracha  cheksizlikdan  v   tezlik  bilan  tushmoqda.  Zarrachalarning
o 'za r o   po te n sia li  \J  =  a h " ,  to'qnashish  —  m a r k a z iy .  Tushayotg an  z a r r a ­
chaning  to 'xtash  nuqtasini  toping.
cx 
/3
15.  U{ r )  = ------
1
- — .  a . p   >  0 
m ay d o n d a   zarrachaning  trayektoriyasini
r 
r-
toping.  Perigeliyni 
( r   =   r 
nuqtami)  k e tm a -k e t  o'tilgandagi  burchak  f arqi 
A(p  ni  toping.  R adial  tebranishlar  davri 
Tr  va  to'liq  aylanish  d avri  T0  ni 
toping.  Trayektoriya  yopiq  bo'lishi  uchun  q a n d a y   shart  bajarilishi  kerak?

4 -bob.
  K I C H I K   T E B R A N I S H L A R
4 .1 .  B ir  o ‘lchamIi  sistem alar
T ebranishli  h a ra k a t  qilishi  m u m k i n   b o 'lg a n   fizik  siste m alarn in g  
soni  ko'p.  Bu  siste m alar  b ir-b irid a n   q a n c h a   farq  qilishidan  q a t ’i  n a z a r 
u lard a  r o ‘y  b e ra d ig a n  
k ich ik  tebranishlar
  deb  atalgan  te b r a n is h l a r  
j u d a   keng  ta rq a lg a n   b o ‘lib,  u i a r n i n g   m a te m a t i k   nazariyasi  h a m m a  
siste m alar  u c h u n   h am   b ir  xildir.  M a n a   shu  n azariyani  o 'r g a n is h g a  
o'tavlik.
Bizga  m a ’lum   bir  potensial  m a y d o n  
U(q) 
d a   h a r a k a t  qilayotgan  erkinlik  darajasi  birga 
ten g   b o 'l g a n   b ir  fizik  sistem a  berilgan  bo'lsin.
U   ( q ) 
p otensial  m a y d o n  
q() 
n u q t a d a   m in i- 
m u m g a   ega  bo'lsin ,  y a ’ni
U ' ( q ()) 
=
 
0
. 
U ' ( q a ) >  
0
, 
(4.1)
bo'lsin .  A gar  potensial  energiyani  sh u   n u q ta  
a t r o f id a   q a t o r g a   yoyib  q a t o r n i n g   f a q a tg in a  
kvadratik  hadig in a  qoldirilsa
U ( q ) ^   U ( q{)) 
+ 
^ ( q  
~ 
4[)y   U" ( q{s) + -  
(4.2)
form ulaga  ega  b o 'la m iz .  K ic h ik   te b ra n ish la r  yaqinlashuvi  m a n a   shu 
yaqinlash u v g a  m os  keladi.  Q u laylik  u c h u n  
q—q = x
  d eb   belgilaylik. 
K inetik  e ne rgiyani  h a m   shu  y a q in la s h u v d a   olinadi:
'r = \ o ( q ) q 2
 
(4.3)
( u [ q 0 ) ~ m  
deb  olindi).  N a ti j a d a   siste m an in g   Lagranj  funksiyasi
L = ^mx2 - ^ k x 2
 
(4.4)
k o 'r m i s h n i  oladi,  b u   y erd a 
U " ( q 0 ) =  k  
belgilash  h a m   kiritildi.  H a ra k a t 
teng lam asin i  topish  qiyin  em as:
U(q)
4
Q0
4.1-  rasm.  Muvozanat 
nuqtasi  atrofidagi 
kichik  tebranish.
80

mx + kx = 0.
 
(4.5)
Bunday  tenglam a 
erkin  tebranishlar
  tenglamasi  deyiladi.  B a ’zi  bir 
hollarda  uni 
garmonik  ossilator
  tenglamasi  h am   deyiladi.  K o'p in c h a  uni
,2. 
-  
^
x + 
0
)  x —
 
0
, 
co
 =  /— 
(4.6)
V 
m
ko 'rin ish g a  keltirib  olish  qulaydir.  K ichik  teb ra n ish la rn in g   ((4.2)  va 
(4.4)  -yaqinlashuvning)  m a ’nosi  endi  tushunarli  b o ‘ldi  -  bu  y aq in - 
lashuvda  harakat tenglamasi 
chiziqli
 tenglama  b o ‘!ar ekan.  Shu  sababdan 
kichik  teb ra n ish la r  k o 'p i n c h a   chiziqli  tebra n ish la r  h a m   deyiladi.  Bu 
ten g la m a n in g   u m u m iy   yechim i
x(/) = C| 
COS 
(tit
 + 
c2
 sin 
0)1
 
(4.7)
k o 'rinishga  ega.  K o 'r in ib   turibdiki,  vaqt 
At = 2n/ (o
  qiym atga  o ‘zgar- 
g a n d a   yechim   o 'z in in g   eski  qiymatiga  qaytib  keladi:
x ( t  
+ 
At) = x { t ) ,  
(4.8)
d e m a k ,  (4.4)  ko'rinishdagi  Lagranj  funksiyasiga  ega  bo 'ig an   sistem a
2
^   c h a sto ta  bilan  g arm o n ik   tebranishli  h arak at  qilayotgan  sistem a
ekan.  O d a td a ,  tebranish  chastotasi
, 
(o
  ni  esa 
siklik 
chastota
 deyiladi.  Lekin,  k o 'p in c h a ,  ш ni  chastota  deb  h a m   ketilaveradi, 
biz  h a m   sh u   a t a m a d a n   foydalanamiz.
M asa la d a  b o s h lan g 'ich   sh artlar  bo'lishi  kerak  — x ( 0 ) = x 0, i  ( 0 ) = u 0. 
K o ‘rinib  turibdiki,  n o m a ’lu m  
c r  
c,  lar  m a n a   shu 
boshlang‘ich  holat x{) 
va 
boshlangHch  tezlik
  v(l  orqali  ifodalanadi:
C i = A „ ,  
C l -  
. 
(4.9)
10
Y e c h im   fizikaviy  kattaliklar  orqali  ifodalandi:
* ( / )  = x0 cosan. 
( 4 . 1 0 )
0)
(4.7)  y e c h im n i  bir  m u n c h a   hollar  u c h u n   qulayroq  b o ‘lgan  k o ‘rinishga 
keltririb  olish  u c h u n   c ^ a c o s a ,   c , = a s i n a  alm ashtirish  bajaraylik  (ikkita 
n o m a ’lum   с 
c2
  larn in g   o 'r n i g a   ikkita  yangi  n o m a ’l u m la r   — 
a ,a  
kiritildi).  N a tijada
x(t)
 = 
« c o s 
(out
 + a )  
(4.11)
6  —  N a z a r i y   m e x a n i k a  
81

f o r m u l a   o l i n a d i .   P a y d o   b o ' l g a n   a   — 
tebranish  am plitudasi
,  cot 
+ 
a   — 
tebranish fa za si
 
v a  
a
— 
boshlang‘ich fa za
 
d ey ila d i.  T e b r a n i s h   e n e r g iy a s i n i 
to p a y lik :
„  
. 
dL 
, 
m / . -> 
1 
i  i 
„
E  =  x — — L = — ( x  + 
CO" 
x  J = — ma 
CO"
. 
(4 .1 2 )
4.1.1 -rn isol.  Matematik  mayatnik.  (1.104)  va  (1.1 05)  tenglamalar  orqali 
biz  matematik  mayatnikni  kiritgan  edik.  Bu tenglamalar  kichik  tebranishlarga 
m os  kelmaydi,  kichik  tebranishlarni  olish  u chun  (1.1 04)  Lagranj  funksiya- 
sida  cos  сp  ni  barqaror  muvozanat  nuqtasi  
  0  atrofida  kvadratik  hadgacha 
qatorga  yoyib
cp2
cos(p =  1 -  —  +  
( 4 .1 5 )
o'zgarmas  son  mgl  ni  Lagranj  funksiyasidan  tashlab  yuborib,  quyidagi  Lagranj 
funksiyasiga  o ‘tish  kerak:
m l
2
 
, 2
 
mgl  
7
 
, ,   1 Л
L = — 

 
(4-16)
M o s  kcluvchi  harakat  tenglamasini  keltirib  chiqarish  qiyin  em a s  (uni
(1.105)  dan  sin
(p + w 2(p  = 0,  со2  = 
. 
(4.17)
Ko'rinib  turibdiki,  chastota  ш  tebranish  amplitudasiga  b o g ‘liq  em as,  
bu  —  kichik  ( c h iziq li)  tebranishlarning  eng  m u h im   xossasi.  Tebranishlar 
davri
T = —  = 2 n \ -
 
(
4
Л
8
)
2rc 
i 
1
 
» m4 l
faqat  mayatnik osiigan  ipning  uzunligiga  b o g i i q  ekan.  Masalan,  mayatnikning 
davri  bir  sekundga  teng  b o i s i n   desak  uning  uzunligi  I  = g / { A n 2 j =  25  sm 
bo'lish i  kerak.
4 . 1 .2 . - m i s o t .   G u y g e n sn in g   sikloidal  izoxron   mayatniki  ( 4 .2 - c   rasmga 
qarang).
Bu  m ayatnik ka  osib  q o'y ilgan  massa  m  ning  harakati  sik loid a  bilan 
chegaralangandir:
.v = / (
у =  / ( l  + co s(p ). 
(4.1 9)
Sistem anin g  Lagranj  funksiyasini  topaylik.  Kinetik  energiya:
82

(4.20)
Potensial  energiya
U  = —mgl cos (p.
(4.21)
Masalaga  mos  keluvchi  o'zgaruvchiga  o'tavlik.  Kerakli  o ‘zgaruvchini  ko'rish 
u chun  kinetik  hadga  nazar  tashlaylik:
ni  tanlab  olinsa  va  potensial  cnergiyadan  o ‘zgarmas  sonni  ajratib  tashlab 
yuborsak  Lagranj  funksiyamiz  quyidagi  ko'rinishga  keladi:
4 .1 .3 -m is o l.  (4. l)-shartlarga  qaytaylik.  Quyidagi  potensial  maydondagi 
kichik  tebranishlar  masalasini  ko'raylik:
M u vozan at  holatlarini  U ' [ q ) -  0   shartga  m os  keluvchi  kq +  / 3 q * = Q
tenglamadan  topish  m um kin.  Agar  к   >  0  bo'lsa  bu  ten glam an in g  haqiqiy 
son lar  so h asid a  bitta  y e c h i m i  bo'ladi:  qu  =   0.  Bu  h olga  m o s   k elu vch i 
grafik  4 .2 -a   rasmda  ko'rsatilgan.  Agar  к  <  0  bo'lsa  bu  ten glam an in g  uchta 
y e c h im i  bor:
U lar  4 . 2 -r a s m d a   k o'rsatilgan.  K o'r in ib   turibdiki,  q()  nuqta  turg'un 
muvozanat  nuqtasi  emas,  bu  nuqta  atrofida  tebranib  bo'lm aydi,  bu  nuqtadan 
ozgina  siljigan  massa  o'n g  yoki  chap  o'ralarga  tushib  ketishi  kerak.  Bu  -
,2  ■
  2  

 2 
о  ,2 (   d  

 
2 ml  sin  —ф  - ъ т 1  
— cos —
2 
[ d t  
2
(4.22)
/
Ko'rinib  turibdiki,  yangi  o'zgaruvchi  sifatida


у   = cos —
L = Hml~’y / 2  —2 mgly/'  ■
(4.23)
Harakat  tenglamasi:
(4.24)
(4.25)
83

о
х
lokal  m aksim um   nuqtasi,  bu  nuqtada  U " ( q 0 ) <   0 .   Tebranish  chastotasining 
kvadrati  u c h u n   m anfiy  bo'igan  U', (qti) = - \ k \ i m   q iy matga  egam iz . 
q {  , 
nuqtalarda  esa  f/'( 0 ,   bu  nuqtalar  lokal  m in im u m   nuqtalari.  Agar
jismning  energivasi  manfiy  E  <  0  bo'lsa  (albatta,  E  > U mm  = ------ 
bo'lishi
4 p
ham  kerak)  u  mana  shu  m inimumlar  atrofida  tebranuvchan  harakat  qilishi 
m u m k i n .  
B u  
n u q t a l a r  
a t r o f i d a g i  
k i c h i k  
t e b r a n i s h  
c h a s t o t a s i
m  .  Shu  m aydon da  tebranayotgan  va  to'liq  energiyasi
manfiy  bo'igan  m oddiy   nuqta  shu  ikkala  m in im u m n in g  birida  fin it  harakat 
qilishi  kerak.  Qaysi  birida?  Agar  sistemada  к  >0  - * k   <  0  o'tish  ro'y  bersa 
k =  0  nuqta  o'tilayotganida  sistema  yoki  chap  yoki  o'n g   o'raga  tushib  ketadi, 
«Qaysi  biriga?»  d egan   savolga  javob  berib  b o 'lm a y d i,   ikkala  m in i m u m  
simmetrik  joylashgan  va  bir  xil  qiymatga  ega.  Faraz  qilavlik,  bu  q^  nuqta 
bo'isin .  Agar  siste m a  m an a  shu 
nuqta  atrofida  teb ranayotgan  bo'lsa 
harakat  tenglamalarining  shunga  mos  keluvchi  yechimi
q ( t ) =   q2 +acos,(a>1t + a )  
(4 .2 6 )
bo'Iadi.  P otc n sial  U ( q ) =  U(—q)  sim rnctriyaga  ega  bo'lgan ligiga  qaramay 
y echim   bu  simmetriyaga  ega  emas.
4 .2 .  M ajburiy  tebranishlar
4 .2 .1 .  Umumiy  nazariya
T u r g ‘u n   m u v o z a n a t   holati  atro fid a  kichik  tebra nish  bilan  h a ra k a t 
qilayotgan jism g a   tashqi  k uch  t a ’sir  qilayotgan  bo'isin.  B u n d a y   m asala 
m ajburiy  tebranishlar
  m asalasi  deyiladi.  A lbatta,  tashqi  k u c h n i  h a m
84

k ic h ik   d e b   q a r a s h   kerak,  a k s in c h a ,  u n in g   t a ’siri  o s tid a   te b r a n i s h  
a m p litu d a s i  k a tta   b o 'lib   k e tis h i,  va  sh u n g a   k o 'r a ,  k ich ik   tebra nish 
y a q in la sh u v d a n   chiqib  ketish  m um kin.
M asa la n i  a n iq ro q   tushinish  u c h u n   k o 'z   oldim izga  Yer  tortishish 
m a y d o n id a   kichik tebranayotgan  zaryadlangan  m a y atnikni keltirishimiz 
m u m k in .  S h u   m ay atn ik k a  tashqi  (kuchli  b o 'lm a g a n )  elek tr  m a y d o n i 
t a ’sir  qilay o tg an   b o 'lsin   (bir  o 'l c h a m l i  sistem alar  h a q id a   gap  k etar 
e ka n,  u sh b u   elektr  m a ydoni  h a m  
q
  o 'q i   bo 'y lab   y o 'n a lg a n   bo'lishi 
k erak).  T u sh u n a rlik i,  bu  tashqi  k u c h   t a ’sirida  m a y a tn ik n in g   tebra - 
nishlari  h a m   o'z garadi.  Tashqi  k u c h   u m u m iy   h o id a   vaqtga  bog'liq 
b o 'lis h i  m u m k i n   (yuqoridagi  m is o ld a   elek tr  m a y d o n   o 'z g a r u v c h a n  
b o'lishi  m u m k in ).  K u c h n in g   kelib  chiqishini  tashqi  potensiai  m a y d o n  
bilan  b o g ia y lik .  Shu  potensiai  m a y d o n n i  q atorga  voyaylik:
U T  ( x, i )  = U T  ( 0 j )  + xU'T  ( 0 , / )  + 
... 
(4.27)
C h iz iq li  y a q in la sh u v g a   m o s   kelish  u c h u n   tash q i  p o te n s ia ln in g  
yoyilm asida 
b o 'y ic h a   chiziqli  h ad n ig in a   qoldirildi.  U m u m i y   t a ’rif 
b o ' y i c h a  
—d U / d x
  i f o d a   k u c h n i   b i l d i r a r   e d i ,   s h u   s a b a b d a n
- l l j  ( 0 j ) =   F(t)
  tashqi  ku ch g a  m os  keladi.  (4.27)  dagi  birinchi  h ad
faqat  v a q tn in g   funksiyasi  b o'lgani  u c h u n   Lagranj  funksiyasidan  uni 
tashlab  yubora m iz .  N atijada  sistem aning  Lagranj  funksiyasi
L = -^mx2 - ~ m x 2
 + 
xF (t)
 
(4.28)
k o 'rin ish g a   ega  bo'ladi.  H a ra k a t  teng lam asin i  yozib  olam iz;
mx + k x = F ( t
), 
(4.29)
yoki
F(r)
x
 + 
co' x
 = —— . 
(4.30)
m
A gar  bir jinsli  ten g la m a n in g   y ec h im in i
,rn  ( r )   =   C,  COS 
(Dt  +  
c2
 
s i n  
(Dt 
( 4 . 3 1 )
deb belgilab olib  (4.30) ga o'z garm aslarni variatsiyalash  m etodi  qo'llansa 
quyidagi  y e c h im   olinadi  (x
0
(r)  ni  y a n a   (4.11)  k o 'r in is h d a   olam iz):
x ( r )   =  
x n
  ( r )  +  Xj  ( ; )   =  
a cos (ax + a )  +
------[ J r / r ( T ) s i n ( a i ( / - T ) ) .  
M  
32
)
m /ll 
V 
• 
/
85

F o r m u l a n i   tu sh u n ish   u c h u n   uni  xususiy  hollarga  q o 'lla b   k o 'ris h  
kerak.
4 .2 .2 .  Tashqi  kuch  o ‘zgarmas  b o‘Igan  hoi
Birinchi  xususiy  hoi  sifatida  tashqi  k uch  o 'z g a rm a s   b o 'l g a n   h o ln i 
ko'raylik: 
F
(/)  =  
F0.
  (4.32)  f o r m u l a d a n   k o 'r in ib   turibdiki,  b u   h o l d a  
tebranuvchi  sistem aning eng asosiy  xarakteristikasi  -  tebranish  chastotasi 
o 'z g a r m a y d i .
M isol  sifatida  4 .3 -ra s m d a   ko'rsa tilg an   sistem ani  olib  ko 'ray lik .  B u 
y erda  tashqi  k u c h   —  gravitatsion  m ay d o n .  K o o rd in a ta   o 'q i 
x
  yu q o rig a 
q a r a g a n   deylik, 
x  =
 
0
  n u q ta   sis te m an in g   pastdagi  u la n g a n   n u q tas i 
bo'lsin .  Bu  h o ld a   s iste m a n in g   Lagranj  funksiyasi
L = -
2
- k ( x - i )   - mgx
(4.33)
b o 'la d i.
A x a m iv a t  b e rin g ,  bik irlik   k o effitsiye nti 
к
  ning  o l d i d a   1/2  k o ' p a y ­
t u v c h i   y o 'q ,   sab a b i  —  m a s s a m i z g a   t a ’sir  q ila y o tg a n   e la s tik   k u c h  
ikki  t o m o n d a n   t a ’sir  q ila y a p ti  —  p a s t d a n   va  y u q o r i d a n .  A g a r  ta s h q i 
g ra v ita tsio n   m a y d o n   b o 'l m a s a   s i s te m a n i n g   b a r q a r o r   m u v o z a n a t   n u q ­
tasi  x ()=   / b o 'l g a n   b o 'l a r   edi.  T a s h q i  m a y d o n   t a ’sirida  esa  s i s te m a n i n g  
m u v o z a n a t   n u q ta s i  siljiydi:
;> 
к 
21
  ф 
m 
<   к
U' { t )  = - 2 k { Xo- l ) - ,
m g
Y k
S is te m a n in g   teb ra n ish   chastotasi:
(O'
V 
(л'о) 
2k
(4.34)
(4.35)
tashqi  m a y d o n   b o 'l m a g a n   h o ld a n   farq  q ilm aydi.  B u la rn i 
bevosita  Lagranj  funksiyasi  tilida  h a m   k o 'rish   m u m k i n  
edi,  b u n i n g   u c h u n   p o te n sia l  h a d n i  t o 'l iq   k v a d r a t  k o ‘- 
rin is h ig a   k e ltirib   o 'z g a r m a s   h a d l a r n i   t a s h l a b   y u b o r i s h  
kerak:
4.3-  rasm. 
Bir jinsli 
tashqi 
maydondagi 
sistem a.
L —
mx
-/ + 
^
 
2 k
\
Endi  (4.32)  fo rm u la g a   m u ro ja a t  ( /  
qilaylik:
(4.36) 
-mg
 deb  olish  kerak)

A m m o  
acos(cot + a ) + bcos(cot)
 = c/cos^cor + a ) ,  b u   yerda 
a  , a   —
  yangi 
o 'z g arm aslar,  d em ak ,  olingan  tebra n ish la r  tashqi  k u c h   y o ‘q  holidan 
faqat  u m u m iy  
-mg I (2k)
  siljishga  farq  qiladi.
4.2 .3 .  Tashqi  kuch  davriy bo‘lgan  hoi
Fizikaviy  m asalalarning  ichida  tashqi  kuch  davriy  b o ‘lgan  hoi  eng 
qiziqarli  holdir.  Bu  holga
F  (t) = f  c o a ( y t + p )
ifoda  m os  keladi.  (4.32)  integralni  hisoblansa  ikki  xil  h a d la r  olinadi: 
y e c h im n in g   birinchi  qismi:
- Ц
^ ) Со4Г, + П
 
(4.38)
y e c h im n in g   ikkinchi  qismi:
f
-----— ----- — (/sin  
P
 sin 
(cot)-
 cocos 
P
 cos (co/)).
mcoico-- у"
  I
I k k in c h i  y e c h im  
уф  со
  b o ‘lgan  h o ld a   (4.32)  dagi  n o m a ’lu m   k o n s - 
t a n t a l a r n i   q a y ta   t a ’riflashga  olib  keladi  h o lo s  ( c h u n k i   u s h b u   q o ‘- 
s h i m c h a   h a d l a r   y a n a   o ‘sha 
co
  c h a s to t a li   te b r a n i s h l a r d i r ) ,   s h u n i n g  
u c h u n  
y ^  
со
  h o l d a   bu   h a d l a r   a l o h i d a   y o z i l m a y d i .   A m m o  
y->  
co 
b o ‘lgan  h o ld a   bu   h a d l a r n in g   roli  m u h i m d i r ,   ta s h q i  k u c h n i n g   c h a s -  
to t a s i   s i s t e m a n i n g   x u su siy   c h a s t o t a s i g a   y a q i n l a s h g a n d a   r e z o n a n s  
hod isasi  r o ‘y  b e ra d i.
D e m a k , 
уф  со
  hoi  u c h u n   y e c h im in in g   koT inishi  aniqlandi:
л- (/) = 
a
 cos 
(cot + a
) ■+ 
cos (yr + 
P ). 
^ щ
S iste m a d a  bir v a q td a   ikkita  teb ra n ish   r o ‘y  beradi  —  biri 
co
 c h a s to ta  
bilan,  ikkinchisi  / c h a s t o t a   bilan.
A m m o   y-> 
co
  b o ‘lgan  h o l d a   (4 .3 9 )   h a d l a r   h i s o b g a   o l i n m a s a  
b o ‘Imaydi,  (4.40)  fo rm ulada gi  ikkinchi  h a d   bu  h o ld a   cheksiz  o ‘sa
х0 (/ )=  я cos (cot +  а ) - '- ^ - ( \  — cos (ft)?))- 
(4.37)
87

boshlaydi,  bu   esa  bu  y e c h im n in g   k o 'r a y o t g a n   h o lim iz d a   q o i l a n i s h i  
m u m k in  emasligini  bildiradi.  Q uyidagicha y o i   tutam iz:  (4.39)  va  (4.38)
y e c h im la rn in g   y i g i n d is in i  olam iz, 
у = co + s
  d e y m iz   va 
£ — > 0
  limitga 
o 'ta m iz .  S h u   lim itda  quyidagi  y e c h im n i  to p a m iz :
T opilg an   yec h im d a g i  ikkinchi  had   vaqt  o 'tish i  bilan   o 's a  boshlaydi, 
re z o n a n s   d e g a n   h o d isa   m a n a   sh u   c h e k l a n m a g a n   o 's is h g a   olib  kelishi 
bilan   x a r a k t e r l a n a d i.  A lb a t t a ,  k ic h ik   t e b r a n i s h l a r   y a q i n l a s h u v i d a n  
c h i q i b   k e t m a s l i k   u c h u n   ( 4 . 4 1 )   f o r m u l a d a n   f a q a t g i n a   t e b r a n i s h  
a m p litu d a s i  hali  y e ta r lic h a   kichik  b o 'l g a n   h o lla rd a g in a   fo y d a la n ish  
m um k in .
ko 'rin ish g a  ega  b o i a d i .   Bu  «energiya»  s a qlanuvc hi  kattalik  em as,  buni 
Lagranj  funksiyasining  vaqtga  o sh k o ra   b o g i i q li g i d a n   h a m   tush u n ish  
m u m k in .  Tashqi  k uch  sistem aga  t a ’sir q i l a r e k a n   siste m an in g   energiyasi 
bu  k u c h   t a 's i r i   o s t i d a   o 'z g a r i s h i   k e ra k .  E n e r g i y a n i n g   o 'z g a r i s h i  
q uyid ag ich a  t a ’riflanadi: