Nizomiy nomidagi tdpu fizika-matematika fakulteti matematika o`qitish metodikasi yo`nalishi 4-bosqich talabasi

Misol. Toshmatning bozorga borgani to‘g‘risidagi masala
(13)
Diofant tenglamasiga keltirilgan edi (§13 ga qarang.) Evklid algoritmini qo‘llasak, ikki qadamdayoq qoldiq 1 ga teng chiqadi:




bu – 49 va 9 o‘zaro tub degani.

Endi yuqoridagi tenglikni deb yozib olib, quyidagi tenglamaga qo‘ysak, , yoki

hosil bo‘ladi. Bu tenglikning har ikki tomonini 400 ga ko‘paytirsak:


Demak, qarayotgan tenglamamizning xususiy yechimi bo‘lar ekan. (13) ga mos birjinsli tenglamaning umumiy yechimi:

Demak, (13) tenglamaning umumiy yechimi, qoidaga

ko‘ra:

Masalaning shartiga muvofiq yechim musbat sonlardan iborat bo‘lishi kerak:

Bundan – bu qo‘sh tengsizlikni t ning

faqat bitta butun qiymati qanoatlatiradi: . Shunday

qilib, masala faqat bitta yechimga ega:



Biz bu yechimni avvalgi maqolada ancha qisqa yo‘l bilan topgan edik. Bu yerda keltirilgan yechim umuman olganda qisqa emas, lekin u (1) ko‘rinishdagi Diofant tenglamasini yechishning umumiy qoidasini beradi.

Masala. Shunday natural son topingki, 37 ga bo‘lsa, 30 qoldiq bersin, 47 ga bo‘lganda esa 40 qoldiq bersin.

Yechish. So‘ralayotgan sonni n, uni 37 va 47 ga bo‘lganda chiqadigan bo‘linmalarni x va y deb belgilaylik. U holda,

Demak, , ya’ni Diofant tenglamasi hosil bo‘ladi. Koeffisientlariga Evklid algoritmini qo‘llaymiz:


.

Bu tengliklarga asosan:


.Shunday qilib, qiymatlar

tenglamaning xususiy yechimi, qiymatlar

esa berilgan tenglamaning xususiy yechimi.

tenglamaning umumiy yechimi bo‘lishini payqash qiyin emas (tenglamadagi – ishorasi evaziga y uchun formulada bu ishora

bo‘lmaydi).

Demak, tenglamamizning umumiy yechimi:

Bu safar Diofant tenglamasi cheksiz ko‘p musbat yechimlarga ega: qiymatlar qo‘yilsa, x ham, y ham musbat chiqaveradi. Ulardan eng kichigini topaylik:



Demak, bo‘lganda eng kichik qiymatlar chiqadi. Yechimni oxiriga yetkazish uchun, (12) tenglikka asosan, n uchun formula chiqarish qoladi:

Xususan, 37 ga bo‘lganda 30, 47 ga bo‘lganda 40 qoldiq beradigan musbat sonlardan eng kichigi

Haqiqatda 1732 ni 37 ga bo‘lganda 30 qoldiq, 47 ga

bo‘lganda esa 40 qoldiq chiqishini tekshirib ko‘rish mumkin.