Nizomiy nomidagi tdpu fizika-matematika fakulteti matematika o`qitish metodikasi yo`nalishi 4-bosqich talabasi

Birinchi qadam. (4′) tenglikdagi 42 o‘rniga (3′) tenglikning chap tomonidagi ifodani qo‘yamiz:

(5)

Bu ifodani mana bunday tarzda ixchamlaymiz:

(6)

Ikkinchi qadam. (6) tenglikdagi 224 o‘rniga (2′) tenglikning chap tomonidagi ifodani qo‘yamiz:

.

Ixchamlasak: . Yoki baribir

, (7)
Bu tenglikdan ko‘rinadiki, va sonlari Diofant tenglamasining yechimidan iborat.

Savol tug‘iladi: 14 – bu 7560 bilan 1834 ning EKUB edi, 14 o‘rnida boshqa son tursa-chi? Masalan,
(8)
Ravshanki, agar c soni 14 ga bo‘linmasa, (8) tenglama yechimga ega emas, chunki chap tomoni 14 ga bo‘linadi. c soni 14 ga bo‘linsin, aytaylik, bo‘lsin. U holda (7) tenglikning har ikki tomonini s ga ko‘paytiramiz:

Binobarin, va sonlari (8) tenglamaning yechimi bo‘ladi.

Xullas, Evklid algoritmi Diofant tenglamasining bitta yechimini topib beradi. Bunday yechim Diofant tenglamasining xususiy yechimi deb yuritiladi. Jumladan, va juftlik tenglamaning xususiy yechimi bo‘ladi.

Xususiy yechimdagi x, y ning qiymatlaridan biri manfiy chiqishi mumkin. Shuning uchun “Diofant tenglamasining boshqa yechimlari ham bormi? Bor bo‘lsa, qanday topiladi?” degan masala tug‘iladi. Bu masala oson yechilar ekan.

Faraz qilaylik, (1) Diofant tenglamasining , xususiy yechimi ma’lum. Tenglama yechimga ega bo‘lishi uchun, c had a va b ning EKUBi, ya’ni ga bo‘linishi shart ekanligini aytib o‘tgan edik. Demak, tenglamada a, b, c sonlarini d ga qisqartirish mumkin. Natijada, x va y oldidagi koefftsientlar o‘zaro tub bo‘lgan tenglama hosil bo‘ladi. Biz berilgan (1) tenglamaning o‘zida a va b o‘zaro tub deb olaveramiz.

(1) tenglama bilan bir qatorda
(9)
tenglamani o‘rganamiz. U bir jinsli chiziqli Diofant tenglamasi deb ataladi. Uni ko‘rinishda yozib olsak, a va b ning o‘zaro tubligidan shunday xulosa kelib chiqadi: x va y ning qiymatlari (9) tenglamani qanoatlantirsa, u holda x soni b ga, y soni esa a ga bo‘linadi. Boshqacha qilib aytganda, , , , nisbatlar butun sonlardan iborat. (9) tenglamaga asosan,

bo‘lishini ko‘ramiz. Demak, bu ikki nisbat butun sondan iborat. Shu sonni t bilan belgilasak,

(10)
tengliklarni hosil qilamiz. t ning ixtiyoriy butun qiymatida (10) formulalar bilan aniqlangan (9) tenglamani qanoatlantirishi ko‘rinib turibdi. Ya’ni, (9) tenglamaning barcha yechimlari ko‘rinishida bo‘ladi.

Shunday qilib, x, y (9) tenglamaning butun yechimi bo‘lsa, (11) formula o‘rinlidir. Aksincha, (11) formulalar (9) Diofant tenglamasini qanoatlantirishi ko‘rinib turibdi. Shuning uchun (11) formulalar birjinsli Diofant tenglamasining umumiy yechimi deyiladi.

Endi (1) Diofant tenglamasining umumiy yechimini

osongina topa olamiz:

(1) Diofant tenglamasining umumiy yechimi uning xususiy yechimga va mos birjinsli (9) tenglamaning umumiy yechimini qo‘shish bilan hosil qilinadi:
(12)
Belgilashga ko‘ra (1) tenglamaning xususiy

yechimi edi. uning boshqa (istalgan) yechimi bo‘lsin.

Demak,



Yuqoridagi tenglamadan quyidagisini hadma-had ayirsak,

tenglik hosil bo‘ladi. Bundan sonlari (9) tenglamaning yechimini tashkil qilishi kelib chiqadi. U holda, isbotlanganga ko‘ra, biror butun t uchun

formulalar o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa (12) formulalar olinadi.