Nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika

Teorema. (Bolsano-Veyershtass teoremasi) Har qanday chegaralangan ketma-ketlikdan chekli songa intiluvchi qismiy ketma-ketlikdan chekli songa intiluvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
ketma-ketlik berilgan bo’lib, u chegaralangan bo’lsin. Bu holda ketma-ketlikning barcha hadlari [a,b] da joylashgan deb qarash mumkin. ,
[a,b] segmenti

Segmentlarni ajratamiz. ketma-ketlikning cheksiz ko’p hadlari joylashganini deymiz. Ravshanki, uzunligi ga teng bo’ladi. Yuqoridagiga o’xshash segmentni

Segmentlarga ajratamiz. Berilgan ketma-ketlikning cheksiz ko’p sondagi hadlari bo’lganini deymiz. Bunda ning uzunligi ga teng bo’ladi. Bu jarayonni davom ettirish natijasida ushbu

Segmentlar ketma-ketligi hosil bo’ladi. Bu segmentlar ketma-ketligi uchun
Bo’lib, da bo’ladi.
Ichma ich joylashgan segmentlar prinsipiga ko’ra

Bo’ladi.
Teorema. (Bolsano-Koshi). Agar f(x) funksiya [a,b] da uzluksiz bo‘lib, kesmaning uchlarida qarama-qarshi ishorali qiymatlarga ega bo‘lsa, u holda (a,b) da shunday c nuqta mavjudki, f(c)=0 bo‘ladi.
Teorema. (Veyershtrass). Agar f(x) funksiya [a,b] da uzluksiz bo‘lsa, u holda f(x) shu kesmada chegaralangan bo‘ladi.
Teorema. Agar y=f(x) funksiya X oraliqda o‘suvchi (kamayuvchi) va uzluksiz bo‘lsa, u holda qiymatlar to‘plami f(X) da unga teskari funksiya mavjud bo‘lib, bu funksiya ham o‘suvchi (kamayuvchi) va uzluksiz bo‘ladi.


Koshi teoremasi
Fundamental ketma-ketliklar. Koshi teoremasi. ketma-ketlik berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Agar har qanday olinganda ham shunday natural n₀ son topilsinki, n>n₀ va m>n₀ uchun

Tengsizlik bajarilsa, {x_n} – fundamental ketma-ketlik deyiladi.
Masalan,

Fundamental ketma-ketlik bo’ladi.
Haqiqatdan ham, berilgan ketma-ketlik uchun

Bo’lib, ga ko’ra deyilsa, bo’lganda
bo’ladi.