Nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika

Qaralayotgan funksiya egri chiziqda uzluksiz. Binobarin, u(x,y) va v(x,y) funksiyalar ham da uzluksiz. Demak, bu funksiyalarning egri chiziq bo’yicha integrallari mavjud va …………
..
bo’ladi.
(3) da da limitga o’tib topamiz:

Bunda esa da yig’indi chekli limitga ega va

bo’lishi kelib chiqadi.
Natijada quyidagi teoremaga kelamiz.
Teorema 1: Agar f(z) funksiya egri chiziqda uzluksiz bo’lsa, u holda bu funksiyaning egri chiziq bo’yicha integrali mavjud va

bo’ladi.
3^o. Integralning xossalari.
Yuqorida ko’rdikki, uzluksiz f(z) kompleks o’zgaruvchili funksiyaning egri chiziq bo’yicha integrali egri chiziqli integralga kelar ekan.
Shuning uchun f(z) funksiya integrali ham egri chiziqli integrallar xossalari kabi xossalarga ega bo’ladi.
1)
o’ng tomondagi integralni mavjudligidan chap tomondagi integralni mavjudligi kelib chiqadi.
2)
o’ng tomondagi integralni mavjudligidan chap tomondagi integralni mavjudligi kelib chiqadi.
3) Agar f(z) funskiya egri chiziq bo’yicha integrallanuvchi bo’lib

bo’lsa, u holda

bo’ladi.
4) Agar f(z) fukntsiya egri chiziq bo’yicha integrallanuvchi bo’lib
bo’lsa, u holda

bo’ladi.
5) Agar f(z) funksiya egri chiziqda uzluksiz bo’lsa, u holda

bo’ladi, bunda
Agar bo’lsa

bo’ladi, bunda egri chiziq uzunligi.
6) Faraz qilaylik, f(z) sohada uzluksiz bo’lib, bo’lakli silliq egri chiziq bo’lsin. U holda son olinganda ham D sohaga tegishli bo’lgan shunday P sinikq chiziq topiladiki,

bo’ladi.
4^o. Integralni xisoblash.
Aytaylik, C da egri chiziq ushbu

tenglama bilan berilgan bo’lib, x(t), y(t) funksiyailar segmenda aniqlangan, uzluksiz hamda uzluksiz hosilarga ega bo’lsin. Bu egri chiziqda f(z) funksiya berilgan va uzluksiz bo’lsin, u holda
(*)
bo’ladi. Bu formula integralni hisoblash formulasi.
Izoh. (*) tenglik bilan berilgan integralni kompleks argumentli funksiya integrali ta’rifi sifatida qarash mumkin.
Misol.

intengralni hisoblang, bu yerda .
Yechish. – aylananing tenglamasi quyidagicha

Agar bo’lsa

Agar

Demak,

Demak, biz bilamiz: – polinom. Savol tug’iladi–“Golomorf funksiyadan olingan integral nolga tengmi yoki yo’q?”.
Bunga Koshi teoremasi javob beradi.
Javob salbiy. Agar f faqat ni ustida golomorf bo’lsa.
Masalan:
demak yuk.
1). Koshi teoremasi.