Nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika

Teorema: Agar funksiya bir bog’lamli sohada golomorf bo’lsa, u holda funksiyaning sohada yotuvchi har qanday silliq, (bo’lakli silliq) yopiq chiziq bo’yicha integrali nolga teng bo’ladi:

Isbot: 1-hol. uchburchak chegarasi bo’lgan xol. Bu uchburchakni perimetri P ga teng bo’lsin. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni teorema shartlari bajarilsinu, lekin

bo’lsin.
-uchburchakni, uning tomonlari o’rtalarini birlashtiruvchi to’g’ri chiziq kesmalari yordamida 4 ta

uchburchaklarga ajratamiz.
Natijada quyidagi munosabatga kelamiz

Ravshanki,

bu tengsizlikning o’ng tomonidagi qo’shiluvchilardan kamida bittasi dan kichik bo’lmaydi, shu uchburchakni deb belgilaymiz, ya’ni
- uchburchakning perimetri ga teng.
Endi uchburchakka yuqoridagi usul bilan yana 4 ta
uchburchaklarga ajratamiz. Bu uchburchaklar orasida shunday uchburchakning perimetri ga teng.
Bu jarayonni cheksiz davom ettira boramiz.
Natijada: uchburchaklar ketma-ketligi hosil bo’ladi. Bu uchburchaklar ketma-ketligi uchun:

1. 
   
   
2. 
   uchburchakning perimetri ga teng va da
   
3. 
   h
   ar bir (n=1,2,…) uchburchak uchun
   

bo’ladi.

1. 
   va 2) tasdiqlardan barcha uchburchaklarga tegishli bo’lgan yagona nuqta mavjud bo’lishi kelib chiqadi.
   

Shartlarga ko’ra f(z) funksiya nuqtada golomorf. Demak, son olinganda ham shunday son topiladiki,

tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha z lar uchun

ya’ni

bo’ladi.
Endi biz bilamizki,

va n ning etarli katta qiymatlarida
bo’ladi.
Demak,

1. 
   va (2) dan
   

bo’lishi kelib chiqadi. Demak ,
.
Bu tengsizlik M>0 deb qilingan farazga zid. (chunki ixtiyoriy musbat son). Ziddiyatlik bo’lmasligi uchun M=0 bo’lishi kerak.
Shunday qilib M=0, ya’ni
bo’ladi.
2) egri chiziq ko’pburchak konturidan iborat bo’lsin: =P
Ravshanki, ko’pburchak chekli sondagi uchburchaklarga ajraladi va

integral esa bu uchburchaklar bo’yicha olingan integrallar yig’indisiga teng bo’ladi. Uchburchaklar bo’yicha olingan integrallarning har biri 1) holga binoan nolga teng bo’ladi.
Binobarin,

bo’ladi.
3) egri chiziq ixtiyoriy silliq (bo’lakli silliq) yopiq egri chiziq bo’lsin. Integralning 6-xossasiga ko’ra D sohaga tegishli bo’lgan shunday P ko’pburchak topiladiki,
bo’ladi, bunda ixtiyoriy musbat son 2) holga binoan

demak,

bundan esa

bo’lishi kelib chiqadi. Teorema to’liq isbot bo’ldi.