O ‘zbekiston respublikasi

II.BOB. LOBACHEVSKIY GEOMETRIYASI.
2.1 Lobachevskiy geometriyasi aksiomasi va undan kelib chiqadigan dastlabki xulosalar.
L obachevskiy. Yevklid geometriyasi parallellik aksiomasi oʻrniga boshqa aksioma  kiritib, ziddiyatdan xoli mukammal geometriya — noyevklid geometriyani yaratgan. Qozon universitetida Lobachevskiynga Karl Gaussning  o’qituvchisi va doʻsti  Johan Christian Bartelis taʼsir oʻtkazgan. 1811-yilda Lobachevskiy fizika boʻyicha magistr darajasini olgan. 1822-yilda, yaʼni 30 yoshida toʻliq professor etib tayinlangan va matematika, fizika va astronomiyadan saboq bergan.
Lobachevskiy algebraik tenglamalarni taqribiy yechish usuli, matematik analiz funksiyasining mukammal taʼrifi, qatorlarning yaqinlashish alomati, ehtimollar nazariyasi, mexanika va boshqa sohalarga muhim hissa qoʻshgan. Lobachevskiy moddiy qiyinchilik va xastaligiga qaramay, umrining oxirigacha ilmiy faoliyatini davom ettirgan. Lobachevskiy geometriyasining yaratilishi matematika taraqqiyotida katta voqea boʻlgan, tabiat haqidagi tasavvurlarni boyitgan. Matematik Valentina Kirichenko rus va ingliz fanlari o'rtasidagi munosabatlarga bag'ishlangan bo'lib, 19 -asr geometriyasi haqidagi Lobachevskiy g'oyalarining inqilobiy tabiati haqida Post Naukaga aytib beradi.
Parallel chiziqlar hatto Lobachevskiy geometriyasida ham kesishmaydi. Filmlarning bir joyida siz tez -tez iborani topishingiz mumkin: "Va bizning Lobachevskiyning parallel chiziqlari kesishadi". Chiroyli, lekin to'g'ri emas. Nikolay Ivanovich Lobachevskiy haqiqatan ham g'ayrioddiy geometriyani o'ylab topdi, bunda parallel chiziqlar biznikidan ancha farq qiladi. Ammo baribir ular bir -biriga mos kelmaydi.
Biz ikkita parallel chiziq bir -biriga yaqinlashmaydi va uzoqlashmaydi deb o'ylashga odatlanganmiz. Ya'ni, biz birinchi qatorning qaysi nuqtasini olsak ham, undan ikkinchi qatorgacha bo'lgan masofa bir xil, u nuqtaga bog'liq emas. Lekin haqiqatan ham shundaymi? Va nima uchun bu shunday? Va buni qanday tekshirish mumkin?
Agar biz fizik to'g'ri chiziqlar haqida gapiradigan bo'lsak, bizda har bir to'g'ri chiziqning faqat kichik bir qismi kuzatuv uchun mavjud. O'lchov xatolaridan kelib chiqqan holda, biz to'g'ri chiziqlar bizdan juda uzoqda qanday harakat qilishlari haqida aniq xulosa chiqara olmaymiz. Qadimgi yunonlarda ham shunga o'xshash savollar bo'lgan. Miloddan avvalgi III asrda qadimgi yunon geometrigi Evklid asosiy mulkni juda aniq tasvirlab bergan parallel chiziqlar buni na isbotlab, na rad qila olmadi. Shuning uchun u buni posto’lat deb atadi - bu imonga asoslanishi kerak. Bu Evklidning mashhur beshinchi posto’lati: agar tekislikdagi ikkita to'g'ri chiziq ajratuvchi bilan kesishsa, ichki bir qirrali burchaklarning yig'indisi ikkita to'g'ri chiziqdan kam, ya'ni 180 gradusdan past bo'lsa, unda yetarli Bu davom etganda, bu ikkita to'g'ri chiziq kesishadi va bu sekant tomonida, uning yig'indisi ikkita to'g'ri burchakdan kam.
Ushbu posto’latdagi kalit so'zlar "yetarli davomi bilan". Aynan shu so'zlar tufayli posto’latni empirik tekshirish mumkin emas. Balki chiziqlar ko'rish chizig'ida kesishadi. Balki 10 kilometrdan keyin yoki Pluton orbitasidan tashqarida yoki hatto boshqa galaktikada.
Evklid mashhur "Boshlanishlar" kitobida mantiqan o'z posto’latlari va natijalarini bayon qilgan. Bu kitobning nomi qadimgi yunon tilidan keladi  Ruscha so’z "Elementlar" va lotincha nomidan - "elementlar" so'zi. Evklidning boshlanishi - barcha davrlarning eng mashhur darsligi. Nashrlar soni bo'yicha u Muqaddas Kitobdan keyin ikkinchi o'rinda turadi.
O'tgan asrgacha Evklidning "Boshlanishi" hamma uchun o'qish majburiy edi ta’lim dasturlari, bu yerda intellektual ijodkorlik, ya'ni hunarmandchilikni o'rganish emas, balki ko'proq intellektual narsa nazarda tutilgan edi. Evklidning beshinchi posto’latining aniq emasligi tabiiy savol tug'dirdi: buni isbotlash mumkinmi, ya'ni Evklidning qolgan taxminlaridan mantiqan xulosa chiqarish mumkinmi? Evklid zamondoshlaridan Lobachevskiygacha ko'plab matematiklar buni qilishga harakat qilishdi. Qoida tariqasida, ular beshinchi posto’latni ishonish osonroq bo'lgan vizual bayonotga qisqartirishdi.
Masalan, 17 -asrda ingliz matematiki Jon Uollis bu bayonotga beshinchi postulatni qisqartirdi: ikkita o'xshash, lekin teng bo'lmagan uchburchak, ya'ni burchaklari teng, lekin o'lchamlari boshqacha bo'lgan ikki uchburchak bor. Ko'rinib turibdiki, nima oddiyroq bo'lishi mumkin? Keling, ko'lamni o'zgartiraylik. Ma'lum bo'lishicha, barcha burchak va nisbatlarni saqlagan holda o'lchovni o'zgartirish qobiliyati Evklid geometriyasining o'ziga xos xususiyati, ya'ni Evklidning barcha postulatlari, shu jumladan, beshinchisi bajarilgan geometriya.
XIX asr mobaynida ko'pchilik beshinchi posto’latni isbotlash abadiy harakatlanuvchi mashinani kashf etishga o'xshaydi, degan ta’assurotga ega edi - bu mutlaqo befoyda mashq. Ammo Evklidning geometriyasi yagona mumkin emas deb taxmin qilish uchun hech kim jasorat qila olmadi: Evklidning obro'si juda katta edi. Bunday vaziyatda Lobachevskiy kashfiyotlari, bir tomondan, tabiiy, boshqa tomondan mutlaqo inqilobiy edi.
Lobachevskiy beshinchi posto’latni qarama-qarshi so'z bilan almashtirdi. Lobachevskiy aksiomasi shunday yangradi: agar to'g'ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan, bu to'g'ri chiziq bilan kesishgan barcha nurlarni qo'yib yuborsangiz, chap va o'ngda bu nurlar ikkita chegaralovchi nur bilan chegaralanadi, ular endi chegaradan o'tmaydi. To'g'ri chiziq, lekin unga tobora yaqinroq bo'ladi. Bundan tashqari, bu nurlar orasidagi burchak 180 darajadan past bo'ladi.
Bu darhol Lobachevskiy aksiomasidan kelib chiqadiki, berilgan to'g'ri chiziqda yotmaydigan nuqta orqali, Evklidda bo'lgani kabi, berilganga parallel bo'lgan bitta to'g'ri chiziqni emas, balki xohlaganingizcha chizish mumkin. Ammo bu to'g'ri chiziqlar Evklidnikidan farq qiladi. Masalan, agar bizda ikkita parallel chiziq bo'lsa, ular birinchi navbatda yaqinlashib, keyin uzoqlashishi mumkin. Ya'ni, birinchi chiziqdagi nuqtadan ikkinchi qatorgacha bo'lgan masofa nuqtaga bog'liq bo'ladi. Turli nuqtalar uchun har xil bo'ladi.
Lobachevskiy geometriyasi bizning sezgimizga qisman ziddir, chunki biz odatda kichik masofalarda u Evkliddan juda kam farq qiladi. Xuddi shunday, biz Yer yuzasining egilishini sezamiz. Uydan do'konga yurganimizda, biz to'g'ri chiziqda ketayotganga o'xshaymiz va yer tekis. Ammo, agar biz, masalan, Moskvadan Monrealga uchadigan bo'lsak, biz allaqachon samolyot aylana yoyida uchayotganini payqadik, chunki bu Yer yuzasidagi ikki nuqta orasidagi eng qisqa yo'l. Ya'ni, biz Yer krepdan ko'ra ko'proq futbol to'piga o'xshab ketayotganini payqaymiz.
Lobachevskiy geometriyasini oddiy emas, balki giperbolik futbol to'pi yordamida ham tasvirlash mumkin. Giperbolik futbol to'pi oddiy to'p kabi yopishtirilgan. Faqat oddiy to'pda oq beshburchaklar qora beshburchaklarga yopishtirilgan, giperbolik to'pda esa beshburchak o'rniga siz heptagon yasashingiz, shuningdek olti burchakli bilan yopishtirishingiz kerak. Bu holda, albatta, bu to'p emas, balki egar bo'ladi. Va bu egarda Lobachevskiy geometriyasi amalga oshiriladi.
Lobachevskiy 1826-yilda Qozon universitetida kashfiyotlari haqida gapirishga harakat qildi. Ammo hisobot matni saqlanib qolmagan. 1829 yilda u universitet jurnalida o'z geometriyasi haqida maqola e'lon qildi. Lobachevskiy natijalari ko'pchilik uchun ma'nosiz bo'lib tuyuldi - ular nafaqat dunyoning odatiy manzarasini yo'q qilgani uchun, balki ular tushunarli tarzda taqdim etilmaganligi uchun.
Biroq, Lobachevskiyning bugungi reytingi yuqori bo'lgan jurnallarda ham nashrlari bor edi. Masalan, 1836-yilda u mashhur "Crell" jurnalida frantsuz tilida "Xayoliy geometriya" nomli maqolani nashr etdi, o'sha sonida o'sha davrning eng mashhur matematiklari - Dirichlet, Steiner va Jacobi maqolalari bilan. 1840 yilda Lobachevskiy "Parallel chiziqlar nazariyasidagi geometrik tadqiqotlar" nomli kichik va juda tushunarli yozma kitobini nashr etdi. Kitob nemis tilida bo'lib, Germaniyada nashr etilgan. Darhol halokatli sharh paydo bo'ldi. Sharhchi, ayniqsa, Lobachevskiyning: "Biz ularning parallelligi yo'nalishida to'g'ri chiziqlarni qanchalik uzoq davom ettirsak, ular bir -biriga shunchalik yaqinlashadilar", degan iborasini masxara qildi. "Faqat bu bayonot, - deb yozadi sharhlovchi, - allaqachon janob Lobachevskiyning ishini etarli darajada tavsiflaydi va sharhlovchini qo'shimcha baholash zaruratidan ozod qiladi".
Ammo kitobda xolis o'quvchi ham bor. Bu Karl Fridrix Gauss edi, u matematiklar qiroli sifatida ham tanilgan, tarixdagi eng buyuk matematiklardan biri. U o'z maktublaridan birida Lobachevskiy kitobini maqtagan. Ammo uning sharhi yozishmalarning qolgan qismi bilan birga faqat vafotidan keyin nashr etilgan. 1866-yilda uning kitobi frantsuz, keyin ingliz tiliga tarjima qilingan. Bundan tashqari, ingliz nashri g'ayrioddiy mashhurligi tufayli yana uch marta qayta nashr etilgan. Afsuski, Lobachevskiy bu vaqtgacha yashamadi. U 1856 yilda vafot etdi. Va 1868 yilda Lobachevskiy kitobining ruscha nashri paydo bo'ldi. U kitob sifatida emas, balki Rossiyaning eng qadimgi "Matematik to'plam" jurnalida maqola sifatida nashr etilgan. Ammo keyin bu jurnal juda yosh edi, hatto ikki yoshda ham emas edi. Ammo 1945 yildagi ruscha tarjimasi mashhur rus va sovet geometrisi Veniamin Fedorovich Kagan tomonidan tarjima qilingan.
19 -asr oxiriga kelib matematiklar ikkita lagerga bo'lingan. Ba'zilar darhol Lobachevskiy natijalarini qabul qilib, uning g'oyalarini yanada rivojlantira boshladilar. Boshqalar Lobachevskiy geometriyasi mavjud bo'lmagan narsani tasvirlaydi, ya'ni Evklid geometriyasi yagona haqiqiy va boshqa hech narsa bo'lishi mumkin emas, degan ishonchdan voz kecha olmadilar. Afsuski, ikkinchisiga "Alisa mo''jizalar olamida" muallifi sifatida tanilgan matematik - Lyuis Keroll ham bor edi. Uning haqiqiy ismi Charlz Dodgson. 1890 yilda u "Parallellarning yangi nazariyasi" nomli maqolasini nashr etdi, u yerda u beshinchi postulatning yuqori vizual versiyasini himoya qildi. Lyuis Kerolning aksiomasi shunday eshitiladi: agar siz doira ichida muntazam to'rtburchakni yozsangiz, bu to'rtburchaklar maydoni to'rtburchaklar tashqarisida joylashgan aylananing har qanday segmentlari maydonidan keskin katta bo'ladi. Lobachevskiy geometriyasida bu aksioma to'g'ri emas. Agar biz yetarlicha katta aylanani olsak, unda biz qaysi to'rtburchakni yozmasligimizdan qat'i nazar, bu to'rtburchakning yon tomonlari qancha uzoq bo'lishidan qat'i nazar, to'rtburchaklar maydoni universal fizik doimiy bilan chegaralanadi. Umuman olganda, fizik konstantalar va uzunlikning universal o'lchovlari mavjudligi Lobachevskiy geometriyasi bilan Evklid geometriyasi o'rtasidagi farqdir.
Ammo boshqa mashhur ingliz matematikasi Artur Keyli 1859 yilda, ya'ni Lobachevskiy vafotidan atigi uch yil o'tib, Lobachevskiy postulatini qonuniylashtirishga yordam bergan maqola chop etdi. Qizig'i shundaki, o'sha paytda Kayli Londonda advokat sifatida oy nurida edi va shundan keyingina Kembrijda professorlik unvonini oldi. Aslida, Kayli Lobachevskiy geometriyasining birinchi modelini qurdi, garchi u birinchi qarashda butunlay boshqacha masalani hal qilar edi, boshqa ajoyib ingliz matematikasi, uning ismi Uilyam Kingdon Klifford, Lobachevskiy g'oyalari bilan chuqur uyg'unlashgan. Xususan, u umumiy nisbiylik yaratilishidan ancha oldin tortishish makon egriligidan kelib chiqadi degan fikrni ilgari surgan. Klifford fan falsafasi haqidagi ma'ruzalaridan birida Lobachevskiyning fanga qo'shgan hissasini baholadi: "Lobachevskiy Evklid uchun Kopernik Ptolomeyga aylandi". Agar Kopernikdan oldin, insoniyat biz koinot haqida hamma narsani bilamiz deb ishongan bo'lsa, endi biz koinotning faqat kichik bir qismini kuzatayotganimiz aniq. Xuddi shunday, Lobachevskiydan oldin, insoniyat faqat bitta geometriya borligiga ishongan - evklid, bu haqda hamma narsa allaqachon ma'lum bo'lgan. Endi biz ko'p geometriyalar borligini bilamiz, lekin ular haqida hamma narsani bilmaymiz.