O ‘zbekiston respublikasi

Qadimgi aksiomatik usul.
Miloddan avvalgi V asrda Qadimgi Yunonistonda tashkil etilgan. Uning qo'llanilish sohasi geometriya. Ushbu bosqichning asosiy ishi Evklid elementlari, garchi undan oldin Pifagor aksiomatik usulni tug'dirgan deb hisoblansa ham.
Shunday qilib, yunonlar mantiqiy isbot talab qilmasdan, ya'ni isbot talab qilmasdan, ba'zi faktlarni aksioma sifatida qabul qilishadi, chunki ular uchun ular o'z-o'zidan ravshan haqiqatdir.Evklid o'z navbatida geometriya uchun beshta aksiomani taqdim etadi: 1-berilgan ikkita nuqta ularni o'z ichiga olgan yoki ularga qo'shiladigan chiziq mavjud. 2-Har qanday segment har ikki tomonning cheklanmagan chizig'ida uzaytirilishi mumkin. 3-istalgan nuqtada va istalgan radiusda markazi bo'lgan aylana chizishingiz mumkin. 4-to'g'ri burchaklarning barchasi bir xil. 5-Har qanday to'g'ri chiziqni va unda bo'lmagan har qanday nuqtani olib, unga parallel va shu nuqtani o'z ichiga olgan to'g'ri chiziq mavjud. Ushbu aksioma, keyinchalik, parallellik aksiomasi sifatida tanilgan va u quyidagicha ifodalangan: chiziqdan tashqaridagi nuqtadan bitta parallel chizish mumkin. Biroq, Evklid ham, keyingi matematiklar ham beshinchi aksioma boshqasi kabi intuitiv ravishda aniq emas, degan fikrga qo'shilishadi, hatto uyg'onish davrida ham beshinchisini qolgan to'rttadan ajratishga harakat qilinadi, ammo bu mumkin emas. Bunga binoan XIX asrda beshtani qo'llab-quvvatlaganlar Evklid geometriyasini, beshinchisini rad etganlar esa Evklid bo'lmagan geometriyani yaratganlardir. Evklid bo’lmagan aksiomatik usul. Aynan Nikolay Ivanovich Lobachevski, Yanos Bolyay va Yoxann Karl Fridrix Gauss Evkliddan tashqari aksiomalar tizimidan kelib chiqadigan geometriyani ziddiyatsiz qurish imkoniyatini ko'rishmoqda. Bu aksiomalar va ulardan kelib chiqadigan nazariyalarning mutlaq yoki apriori haqiqatiga bo'lgan ishonchni yo'q qiladi. Binobarin, aksiomalar ma'lum bir nazariyaning boshlang'ich nuqtalari sifatida tasavvur etila boshlaydi. Shuningdek, uning tanlovi ham, u yoki bu ma'noda uning haqiqiyligi muammosi ham aksiomatik nazariyadan tashqaridagi faktlar bilan bog'liq bo'lib qoladi. Shu tarzda, geometrik, algebraik va arifmetik nazariyalar aksiomatik usul yordamida qurilgan ko'rinadi. Ushbu bosqich 1891-yilda Juzeppe Peano kabi arifmetik uchun aksiomatik tizimlarni yaratish bilan yakunlanadi, Devid Xubertning geometriyasi 1899-yilda, 1910-yilda Angliyada Alfred Nort Uaytxed va Bertran Rasselning bayonotlari va predikat hisob-kitoblari; Ernst Fridrix Ferdinand Zermeloning 1908-yildagi aksiomatik to'plamlar nazariyasi. Aynan Devid Xubert rasmiy aksiomatik usul kontseptsiyasini boshlab beradi va uning kulminatsion nuqtasiga olib keladi, Devid Gilbert. Aynan Gilbert ilmiy tilni rasmiylashtirmoqda, uning bayonotlarini o'zlarida hech qanday ma'noga ega bo'lmagan formulalar yoki belgilar ketma-ketligi deb hisoblaydi. Ular faqat ma'lum bir talqinda ma'noga ega bo'ladilar. "Geometriya asoslari” ushbu metodologiyaning birinchi namunasini tushuntiradi. Shu vaqtdan boshlab geometriya Evklid tizimiga qaraganda yaxshiroq ifoda etilgan farazlar yoki aksiomalar tizimidan olinadigan sof mantiqiy natijalar haqidagi fanga aylanadi. Buning sababi shundaki, qadimgi tizimda aksiomatik nazariya aksiomalarning dalillariga asoslanadi. Rasmiy nazariya poydevorida esa, uning aksiomalarining qarama-qarshiligini namoyish qilish orqali berilgan. Ilmiy nazariyalar doirasida aksiomatik tuzilishni amalga oshiruvchi protsedura quyidagilarni tan oladi: a - ma'lum miqdordagi aksiomalarni tanlash, ya'ni isbotlashni talab qilmasdan qabul qilingan ma'lum bir nazariyaning bir qator takliflari. b-ushbu takliflarning bir qismi bo'lgan tushunchalar berilgan nazariya doirasida aniqlanmagan. c-berilgan nazariyani aniqlash va chiqarib tashlash qoidalari o'rnatilgan va nazariya ichida yangi tushunchalarni kiritishga imkon beradi va mantiqiy ravishda ba'zi takliflarni boshqalaridan chiqaradi. d-nazariyaning boshqa takliflari, ya'ni teorema, c asosida a dan chiqariladi. Ushbu usulni ikki eng yaxshi tanilgan Evklid teoremasi: oyoq teoremasi va balandlik teoremasi isbotlash orqali tekshirish mumkin. Ikkalasi ham ushbu yunon geometrining kuzatuvidan kelib chiqadiki, gipotenuzaga nisbatan balandlik to'rtburchaklar uchburchakda chizilganida, asl nusxaning yana ikkita uchburchagi paydo bo'ladi. Ushbu uchburchaklar bir-biriga o'xshash va shu bilan birga kelib chiqish uchburchagiga o'xshashdir. Bu ularning tegishli gomologik tomonlari mutanosib deb taxmin qiladi.
Ko'rinib turibdiki, uchburchaklardagi mos keladigan burchaklar shu tarzda AAA o'xshashlik mezoniga muvofiq uchta uchburchak o'rtasida mavjud bo'lgan o'xshashlikni tekshiradi. Ushbu mezon ikkita uchburchakning burchaklari bir xil bo'lganda, ular bir-biriga o'xshashdir.
Uchburchaklar o'xshashligi ko'rsatilgandan so'ng, birinchi teoremada ko'rsatilgan nisbatlarni o'rnatish mumkin. Xuddi shu fikr, to'rtburchak uchburchakda har bir yoqning o'lchovi gipotenuza va uning ustiga proektsiyasi orasidagi geometrik mutanosib.
Ikkinchi teorema - balandlik. Gipotenuza bo'yicha chizilgan har qanday to'rtburchak uchburchak gipotenuzadagi aytilgan geometrik o'rtacha bilan belgilanadigan segmentlar orasidagi geometrik mutanosib o'rtacha ekanligini aniqlaydi. Albatta, har ikkala teorema nafaqat o'qitishda, balki muhandislik, fizika, kimyo va astronomiyada ham butun dunyoda ko'plab qo'llanmalarga ega. Aksiomalar sistemasining zidsizligi shu sistema modelining tan­lab olinishi bilan hal qilinadi.
Eramizdan avvalgi VI - V asrlarda geometriya kо‘proq Janubiy Italiyada rivojlana bordi. Bu davrni Pifagor davri deyish mumkin. Bu davrda ham faktlarni ilmiy asoslashga urinish bо‘lgan. Quyidagi teoremalarning mantiqan isboti ham shu davrga tо‘g‘ri keladi:
1. Uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi 180° ga teng.
2. Tekislikni muntazam uchburchaklar, to’rtburchaklar va olti burchaklar bilan qoplab chiqish mumkin.
3. Tо‘g‘ri burchakli uchburchak gipotenuzasiga yasalgan, kvadrat yuzi katetlariga yasalgan kvadratlar yuzlari yig‘indisiga teng.
Bundan boshqa kо‘pgina ma’lumotlar ham bu davrning mahsuli bо‘lgan. Masalan, kvadrat tenglamani geometrik yechish usuli, muntazam kо‘pyoqning besh turi (tetraedr, geksaedr, oktaedr, dodekaedr va ikosa­edr). Erishilgan yutuqlarning eng muhimi-umumiy о‘lchovga ega bо‘lmagan kesmalarning mavjudligini isbotlash katta ilmiy yutuq hisoblanadi.
Eramizdan avvalgi IV asrda geometriyaning rivojlanish markazi Afina shahriga kо‘chadi. Matematika fanining bu davrdagi rivojida Platon, Aristotel, Demokritning falsafa maktablari va Yevdoks, Menexm kabi ulkan matematiklarning xissalari katta. Bu ilmiy maktab namoyondalari quyidagi ikki masalani hal qilishga uringan:
1) geometriyani ilmiy asosda bayon etib berish prinsipi, uning jumla iboralarini aksioma, ta’rif va teoremalarga ajratish; 2) isbotlashning formasi va metodini ishlab chiqish: analiz, sintez, teskarisidan isbot qilish va hokazo.
Bu masalalar asosan mantiq (logika) fanining yaratuvchisi Aris­totel (eramizdan avvalgi 384 — 322 yillar) ishlarida о‘z aksini topdi. Xulosa qilib aytganda, Yevklidgacha bо‘lgan davrda fanni (ayniqsa geometriyani) deduktiv negizda qurishning asosiy prinsiplari mukammal ishlab chiqilgan, ular quyidagilardir:
1. Asosiy tushunchalar (obyektlar, ularni о‘zaro bog‘lovchi nisbatlar) ko’rsatiladi.
2. Barcha kerakli aksiomalar bayoni beriladi.
3. Teoremalar keltiriladi.
4. Har bir teorema о‘zidan avvalgi teoremalarga va aksiomalarga asoslanib isbotlanadi.
5. Yangi kiritilgan tushunchalarga ta’rif beriladi. Geometriyani deduktiv prinsipda qurishni grek olimi Yevklid о‘z zamonasiga nisbatan qoniqarli hal qilib, 13 ta kitobdai iborat «Negizlar» nomli asarini yozdi.
Insoniyat tarixida Yovklidning «Negizlar» asari bilan taqqoslash mumkin bо‘lgan va hanuzgacha о‘z qadr-qiymatini yo’qotmay kelgan, о‘z zamonasiga nisbatan chuqur ilmiy asosda qaratilgan birorta asarni ko’rsatib bо‘lmaydi. Uning faqat 1482 yildan boshlab 500 martadan kо‘proq nashr kilingan va dunyodagi juda kо‘p tillarga tarjima qilingani quyidagi fikrimizning yorqin dalilidir.
Ta’riflardan sо‘ng postо‘latlar (hozirgi vaqtda postо‘lat bilan ak­sioma bir-biridan farqlanmaydi) va aksiomalar beriladi.
Postо‘latlar:
I. Har bir nuqtadan istalgan nuqtagacha to’g‘ri chiziq o’tkazish mumkin bо‘lsin.
P. Chegaralangan har bir to’g‘ri chiziqni istalgancha davom ettirnsh mumkin bо‘lsin.
III. Istalgan markazdan har qanday radius bilan aylana chizish mumkin bо‘lsin.
IV. Hamma tug‘ri burchaklar о‘zaro teng bо‘lsin.
V. Bir to’g‘ri chiziq ikki to’g‘ri chiziq bilan kesishib, ular bilan yig‘indisi 2d dan kichik bо‘lgan ichki bir tomonli burchaklar tashkil qilsa, ularni bu yig‘indi 2d dan kichik tomonga qarab davom qildirganda, ular shu tomonda kesishadigan bо‘lsin. Bu oxirgi postо‘lat parallellar haqidagi Yevklidning mashhur beshinchi postо‘latidir.
Aksiomalar:
I. Uchinchi miqdorga teng bо‘lgan miqdorlar о‘zaro teng.
P. Teng miqdorlarga baravardan qо‘shilsa, ularning yig‘indilari ham teng bо‘ladi.
III. Teng miqdordan baravardan ayirilsa, qoldiqlari ham teng bо‘ladi va hokazo.
«Negizlar» ning muhim tarixiy ahamiyatidan yana biri shundan iboratki, u geometriyani mantiqiy jihatdan jiddiy ravishda bayon etish g‘oyasini bizning davrimizgacha yetkazdi. Bizning davrimizga bо‘lgan fan tarixining buyuk namoyandalaridan Kopernik, Galiley, Dekart, Nyuton, Leybnits, Eyler, Lomonosov, Lobachevskiy, al-Xorazmiy, Beruniy, Ibn-Sino, Ulug‘bek, Umar Xayyom va boshqalar ham matematikani Yevklidning «Negizlar» idan о‘rganishgan
«Negizlar» ga tanqidiy nuqtai nazardan qaraganda, shuni ham
e’tiborga olish kerakki, uning asosiy kamchiliklari faqat XIX asrning oxirlaridagnna oshkor qilindi. Lobachevskiy geometriyasi - Yevklid geometriyasining aksiomalar sistemasidan faqat parallellik aksiomasi bilan farq qiladigan, aksiomalar sistemasiga asoslangan geometrik nazariya. Lobachevskiy geometriyasida Yevklidning parallellik aksiomasi oʻrniga quyidagi aksioma qabul qilinadi: agar toʻgʻri chiziq va undan tashqarida nuqta berilgan boʻlsa, ularni oʻz ichiga olgan tekislikda shu nuqtadan oʻtuvchi, lekin berilgan toʻgʻri chiziq bilan kesishmaydigan kamida ikkita toʻgʻri chiziq oʻtkazish mumkin.
Lobachevskiy geometriyasining manbai — Yevklidning "Negizlar" asarida taʼriflangan beshinchi posto’latni isbotlash uchun Ibn al-Xaysam (10-asr), Umar Xayyom (12-asr), Nasriddin Tusiy (13-asr), Prokl (15-asr), Lejandr, Lambert va boshqa matematiklar tomonidan qilingan urinishlardir. 19-asrda beshinchi posto’latni boshqa aksiomalar asosida isbotlab boʻlmaydi, yaʼni u mustaqil aksioma, degan fikr vujudga keldi. Agar beshinchi posto’lat aksioma sifatida qabul qilingan boʻlsa, uning inkori ham boshqa aksiomalarga zid boʻlmasligi kerak. Yevklidning beshinchi posto’lati oʻrniga yuqoridagi aksiomaga asoslangan geometriyani birinchi marta 1826-yilda N. I. Lobachevskiy, undan keyinroq Ya. Bolyay taklif qildi.
Yevklid geometriyasining parallellik aksiomasiga asoslanmagan teoremalari Lobachevskiy geometriyasida ham oʻrinli boʻladi, parallellik aksiomaga asoslangan teoremalari esa Lobachevskiy geometriyasida oʻrinli boʻlmaydi. Lobachevskiy geometriyasida uchburchakning ichki burchaklari yigʻindisi 180° dan kichik.
Lobachevskiy geometriyasining mantiqiy ziddiyatsizligini birinchi marta italyan matematigi E. Beltrami 1868-yilda isbotladi. U psevdosferaning geodezik chiziqlari toʻgʻri chiziq deb qaralsa, hosil boʻladigan geometriya Lobachevskiy geometriyasi ekanligini koʻrsatdi. Bu fakt Lobachevskiy geometriyasining Beltrami interpretatsiyasi (izohi) deyiladi. Keyinchalik F. Kleyn va A. Puankare ham Lobachevskiy geometriyasining boshqa interpretatsiyalarini berdilar.
Lobachevskiy geometriyasi — matematika, mexanika va fizikada keng tatbiq etiladigan nazariya. Shu bilan birga Lobachevskiy geometriyasining yaratilishi moddiy olam haqidagi tasavvurimizni boyitdi. Evklid geometriyasi olamni toʻgʻri aks ettiruvchi yagona geometriya emasligini koʻrsatdi.
B. Rimanning elliptik geometriyasidan farqlash uchun Lobachevskiy geometriyasi baʼzan noyevklid giperbolik geometriya ham deyiladi.
Nikolay Lobachevskiy 1792-yilda Rossiya imperiyasining Nijniy Novgorod shahrida yoki unga yaqin joyda (hozirgi Nijniy Novgorod viloyati, Rossiya) tugʻilgan. Ota-onasi rus va polshalik — Ivan Maksimovich Lobachevskiy va Praskoviya Aleksandrovna Lobachevskaya. Nikolay uchta farzandning biri boʻlgan. Yetti yoshga toʻlganda otasi vafot etgandan keyin ular oilasi bilan Qozonga koʻchib oʻtgan. Lobachevskiy 1802-1807-yillarda Qozon gimnaziyasida oʻqigan. 1807-yil Qozon universitetiga imtiyoz asosida oʻqishga qabul qilingan. 1811-yil Qozon universitetini tugatgach, shu universitetda oʻqituvchi, professor (1816), fakultet dekani (1820-26), rektor (1827-46) boʻlib ishlagan.