O ‘zbekiston respublikasi

1 . a va b to'g'ri chiziqlar kesishmaydi;

2. a va b to'g'ri chiziqlarning ixtiyoriy A va B nuqtalari uchun ABB 2 burchakli har qanday ichki nur h a to'g'ri chiziqni kesib o'tadi.

Biz parallel geometriyalarni maktab geometriyasi kursida odatdagidek belgilaymiz: a || b. E'tibor bering, Evklid tekisligidagi parallel chiziqlar bu ta'rifga mos keladi.
Teorema . Lobachevskiy tekisligida unga tegishli bo'lmagan to'g'ri chiziq va B nuqta berilsin. Keyin bitta yo'naltirilgan to'g'ri chiziq bu nuqta orqali o'tadi, shunda a to'g'ri chiziq b to'g'ri chiziqqa parallel bo'ladi.
Dalil. Keling, B nuqtadan BA perpendikulyarini a to'g'ri chiziqqa tashlaylik va B nuqtadan to'g'ri BA ga perpendikulyar tiklaymiz. P to'g'ri chiziq, ko'p marta ta'kidlanganidek, berilgan a to'g'ri chiziq bilan kesishmaydi. Unda ixtiyoriy C nuqtasini tanlaylik, AC segmentining nuqtalarini ikkita sinfga va. Birinchi sinfga shu segmentning S nuqtalari kiradi, ular uchun BS nurlari AA 2 nurlari bilan kesishadi, ikkinchi sinfga esa BT nurlari AA 2 nurlari bilan kesishmaydigan T nuqtalari kiradi. Keling, sinflarga bunday bo'linish AC segmentining Dedekind qismini hosil qilindi.
2. v a sinflar va A va Cdan boshqa nuqtalarni o'z ichiga oladi;
3. sinfning A dan boshqa har qanday nuqtasi A nuqtasi bilan sinfning istalgan nuqtasi o'rtasida joylashgan.
Birinchi shart aniq, segmentning barcha nuqtalari u yoki bu sinfga tegishli, sinflarning o'z ta'rifiga ko'ra umumiy nuqtalari yo'q.
Ikkinchi shartni tekshirish ham oson. Shubhasiz, va sinfda Adan boshqa nuqta bor; bu so'zni tekshirish uchun AA 2 nurining bir nuqtasini tanlab, uni B nuqtasiga ulash kifoya. Bu nur birinchi sinf nuqtasida BC segmentini kesib o'tadi. Sinfda C dan boshqa fikrlar ham bor, aks holda biz Lobachevskiy paralelizm aksiomasi bilan ziddiyatga kelamiz. Birinchi sinfning A nuqtasidan farqli S nuqtasi va ikkinchi sinfning shunday T nuqtasi bo'lsinki, T nuqtasi A va S o'rtasida bo'lsin. Shu vaqtdan boshlab BS ray AA 2 nurini bir nuqtada kesib o'tadi. BT nurini ko'rib chiqaylik. U ASR uchburchagining AS tomonini T nuqtasida kesib o'tadi. Posho aksiomasiga ko'ra, bu nur bu uchburchakning AR tomonini yoki SR tomonini kesib o'tishi kerak. Faraz qilaylik, BT nurlari SR yonini bir nuqtada O. bilan kesib o'tadi. Keyin B va O nuqtalar orqali BT va BR ning ikki xil to'g'ri chiziqlari o'tadi, bu esa Gilbert aksiomasi aksiomasiga ziddir. Shunday qilib, BT nur AR tomonini kesib o'tadi, bu T nuqta K 2 sinfiga tegishli emasligini bildiradi. Olingan qarama -qarshilik S nuqtasi A va T oralig'ida yotadi degan fikrga olib keladi.
AC segmentidagi Dedekind bo'limining teoremasi xulosasiga muvofiq, A o'rtasida joylashgan va sinfga tegishli bo'lgan har qanday nuqta sinfga tegishli bo'lgan nuqta mavjud. Yo'naltirilgan chiziq chiziqqa parallel ekanligini ko'rsataylik. Darhaqiqat, biz a to'g'ri chiziqni kesib o'tmasligini isbotlashimiz kerak, chunki K 1 sinfidagi nuqtalarni tanlash tufayli burchakning har qanday ichki nurlari kesishadi. Faraz qilaylik, to'g'ri chiziq a nuqtasini H nuqtasida kesib o'tadi. Keling, HA 2 nuridagi ixtiyoriy P nuqtani tanlab, BP nurini ko'rib chiqaylik. Keyin u Q nuqtada M 0 S segmentini kesib o'tadi (bu gapni o'zingiz isbotlang). Ammo M 0 S segmentining ichki nuqtalari ikkinchi sinfga tegishli, BP nurlari a to'g'ri chiziq bilan umumiy nuqtalarga ega bo'la olmaydi. Shunday qilib, BM 0 va a chiziqlarining kesishishi haqidagi taxminimiz noto'g'ri.
Chiziq B nuqtadan o'tuvchi va parallel bo'lgan yagona yo'nalish ekanligini tekshirish oson. Haqiqatan ham, parallel bo'lgan B nuqtadan boshqa yo'naltirilgan to'g'ri chiziq o'tsin. Bunday holda, biz M 1 AC segmentining nuqtasi deb taxmin qilamiz. Keyin, K 2 sinfining ta'rifiga asoslanib ,. Shuning uchun BM 0 nurlari burchakning ichki nuridir, shuning uchun. Ta'rifi tufayli u to'g'ri chiziqni kesib o'tadi. Biz yuqorida isbotlangan bayonot bilan ziddiyatga keldik.
B nuqtasini va uni o'z ichiga olmagan yo'nalishni ko'rib chiqing. Isbotlangan teoremaga muvofiq, B nuqtadan o'tishga parallel yo'naltirilgan chiziq. B nuqtadan a chiziqgacha BH perpendikulyar tushaylik. Buni ko'rish oson burchak HBB 2 - o'tkir. Haqiqatan ham, agar biz bu burchakni to'g'ri chiziq deb hisoblasak, ta'rifdan kelib chiqadiki, B nuqtadan o'tgan har qanday to'g'ri chiziq a to'g'ri chiziqni kesib o'tadi, bu teoremaga zid keladi, ya'ni Lobachevskiyning parallellik aksiomasi LV. Ko'rinib turibdiki, bu burchak aniq emas degan taxmin ham ta'rif va teorema bilan qarama -qarshilikka olib keladi, chunki BB ga perpendikulyar bo'lgan HBB 2 burchakning ichki nurlari AA 2 nurini kesib o'tmaydi. . Shunday qilib, quyidagi bayonot to'g'ri.