O ‘zbekiston respublikasi

2.2 Lobachevskiy tekisligidagi parallel to’g’ri chiziqlar.
LV 1. (Lobachevskiy parallelligi aksiomasi). Har qanday tekislikda bu to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lmagan a 0 to'g'ri chiziq va A 0 nuqta bor, shuning uchun 0 kesishmagan kamida ikkita to'g'ri chiziq bu nuqtadan o'tadi.
A'zolik, tartib, uyg'unlik, uzluksizlik va Lobachevskiy paralelligi aksiomalarini qondiradigan nuqtalar, chiziqlar va tekisliklar to'plami deyiladi. uch o'lchovli bo'shliq Lobachevskiy va L 3 bilan belgilanadi. Raqamlarning geometrik xususiyatlarining ko'pini L 3 fazo tekisligida ko'rib chiqish mumkin. E'tibor beraylik, Evklid geometriyasining paralelligi aksiomasi V 1 aksiomasining rasmiy mantiqiy inkor etilishi biz LV 1 aksiomasi sifatida bergan formulaga ega. Samolyotda kamida bitta nuqta va bitta to'g'ri chiziq mavjud bo'lib, ular uchun Evklid geometriyasining parallelizm aksiomasi bayoni to'g'ri kelmaydi. Keling, Lobachevskiy parallelizm aksiomasining fikri Lobachevskiy tekisligining istalgan nuqtasi va istalgan to'g'ri chizig'i uchun to'g'ri keladi degan teoremani isbotlaylik.
Teorema.A ixtiyoriy to'g'ri chiziq va A to'g'ri chiziqda yotmagan nuqta bo'lsin. Keyin A nuqta va a chiziq bilan aniqlangan tekislikda, A chizig'idan o'tadigan va a chizig'ini kesishmagan kamida ikkita chiziq bor.
Dalil. Biz dalilni 11.1 -teorema yordamida qarama -qarshilik bilan bajaramiz. Faraz qilaylik, Lobachevskiy makonida A nuqta va a to'g'ri chiziq borki, shu nuqta va to'g'ri chiziq bilan aniqlangan tekislikda, A nuqta orqali a kesishmaydigan bitta to'g'ri chiziq bor. Keling, A nuqtani va AB perpendikulyarini a to'g'ri chiziqqa tashlaylik va A nuqtada to'g'ri AB ga perpendikulyarni tiklaymiz. Teoremadan kelib chiqqan holda, h va a chiziqlar kesishmaydi. H to'g'ri chiziq, taxminlarga ko'ra, A orqali o'tadigan va a bilan kesishmagan yagona to'g'ri chiziqdir. Keling, a to'g'ri chiziqda ixtiyoriy C nuqtasini tanlaylik, AC chegarasini AC tekislikka tenglashtiramiz, uning chegarasi AB nuqtasi bo'lmagan, CAM burchagi ACB ga teng. Keyin, xuddi shu 4.2 teoremasidan kelib chiqqan holda, AM chizig'i a bilan kesishmaydi. Bizning taxminimizdan kelib chiqadiki, u h ga to'g'ri keladi. Shunday qilib, M nuqta h chizig'iga tegishli. ABC uchburchagi - to'rtburchaklar, ABC uchburchagi burchaklarining yig'indisini hisoblaylik:. 1 -teoremadan kelib chiqadiki, evklid geometriyasining parallelizm aksiomasining sharti bajariladi. Demak, ko'rib chiqilayotgan tekislikda A 0 va A 0 to'g'ri chiziqlari bo'lishi mumkin emas, bu nuqtadan 0 kesishmagan kamida ikkita to'g'ri chiziq o'tadi. Biz Lobachevskiy parallel aksiomasining sharti bilan ziddiyatga keldik. Teorema isbotlangan.
Ta'kidlash joizki, keyingi bosqichda biz Lobachevskiy parallelizm aksiomasining tasdiqini almashtirib, 1 teoremasini tasdiqlaymiz. Aytgancha, ko'plab darsliklarda aynan shu bayonot Lobachevskiy geometriyasining parallelligi aksiomasi sifatida qabul qilingan. Xulosa . Lobachevskiy tekisligida, berilgan to'g'ri chiziq ustida yotmaydigan nuqta orqali, berilganni kesib o'tmaydigan cheksiz ko'p to'g'ri chiziqlar mavjud.
Darhaqiqat, a - berilgan chiziq, A - unga tegishli bo'lmagan nuqta, h 1 va h 2 - A orqali o'tuvchi va a kesishmaydigan chiziqlar. Shubhasiz, A nuqtadan o'tuvchi va h 1 va h 2 hosil qilgan burchaklardan birida yotadigan barcha chiziqlar a chiziqni kesishmaydi.
2 -bobda biz Evklid geometriyasining parallel aksiomasiga teng keladigan bir qancha bayonotlarni isbotladik. Ularning mantiqiy inkorlari Lobachevskiy tekisligidagi figuralarning xususiyatlarini tavsiflaydi.
Lobachevskiy tekisligida o'zaro kesishmaydigan ikkita to'g'ri chiziq bor, ular uchinchi to'g'ri chiziq bilan kesishganda, ichki bir tomonlama burchaklar hosil qiladi, ularning yig'indisi ikkita to'g'ri burchakdan kam.
Posidoniusning taklifini shakllanishi: tekislikda berilgan chiziqdan yarim tekislikda joylashgan va undan teng masofada joylashgan kamida uchta kollinear nuqta bor. Posidoniusning taklifi evklid geometriyasining paralellik aksiomasining tasdiqlanishiga tengdir. Shunday qilib, bu so'zni rad etish Lobachevskiy samolyotida harakat qiladi.
 Lobachevskiy tekisligidagi to'g'ri chiziqdan teng masofada joylashgan va unga nisbatan yarim tekislikda joylashgan nuqtalar to'plami, o'z navbatida, bitta to'g'ri chiziqda yotmaydi.
Lobachevskiy tekisligida, to'g'ri chiziqdan teng masofada joylashgan va shu tekislikka nisbatan bir yarim tekislikka tegishli bo'lgan nuqtalar to'plami egri chiziq hosil qiladi. Biz uning xususiyatlarini keyinroq ko'rib chiqamiz.
Endi Legendre taklifini ko'rib chiqing: n Biz isbotlagan 2 -teorema buni tasdiqlaydi Demak, Lobachevskiy tekisligida bu taklifning mantiqiy rad etilishi o'rinli.
 Har qanday o'tkir burchak tomonida shunday nuqta borki, bu nuqtada unga ko'tarilgan perpendikulyar burchakning ikkinchi tomonini kesib o'tmaydi.
Buni bildiradi burchaklari yig'indisi ikkita to'g'ri burchak yig'indisiga to'g'ri keladigan uchburchak borligi haqidagi taxmin Evklid tekisligining parallelizm aksiomasiga tengdir. 
Lobachevskiy tekisligida har qanday uchburchakning burchaklarining yig'indisi 2d dan kichik.
Bu darhol buni anglatadi har qanday qavariq to'rtburchaklar burchaklar yig'indisi 4d dan kichik, har qanday qavariq n - gon burchaklar yig'indisi 2 (n -1) d dan kam.
Evklid tekisligida Saccheri to'rtburchagining yuqori poydevoriga ulashgan burchaklar to'g'ri burchaklarga teng, chunki, Evklid geometriyasining parallelizm aksiomasiga teng. quyidagi xulosa.
Saccheri to'rtburchagining yuqori poydevoriga ulashgan burchaklar o'tkir.
Lobachevskiy tekisligidagi uchburchaklarning yana ikkita xususiyatini ko'rib chiqish biz uchun qoladi. Birinchisi, Uollisning taklifi bilan bog'liq: tekislikda burchaklari teng, lekin qirralari teng bo'lmagan kamida bitta juft uchburchak bor. 11 -bo'limda biz bu taklif evklid geometriyasining parallel aksiomasiga teng ekanligini isbotladik. Bu bayonotning mantiqiy inkor qilinishi bizni quyidagi xulosaga olib keladi: Lobachevskiy tekisligida burchaklari teng, lekin tomonlari teng bo'lmagan uchburchaklar yo'q. Shunday qilib, quyidagi taklif to'g'ri.