O ‘zbekiston respublikasi

1.2 Aksiomalar sistemasida qo’yiladigan talablar.
Qabul qilinadigan aksiomalar sistemasi quyidagi talablarga javob berishi kerak Mantiq qonunlari asosida aksiomalar sistemasidan bir-birini inkor etuvchi ikkita jumla kelib chiqmaydigan bo’lsin, ya’ni aksiomalar sistemasi zidlikka ega bo’lmasin;

1. 
   Muayyan aksiomalar sistemasida ishtirok etadigan har bir aksioma qolganlarining mantiqiy xulosasi bo’lmasligi _ teorema sifatida isbotlanmasligi, ya’ni aksiomalar sistemasidagi har bir aksioma erkinlik xususiyatiga ega bo’lishi kerak;
   
2. 
   Aksiomalar sistemasi qatoriga shu sistemadan mantiqan kelib chiqmaydigan yangi aksiomani qo’shish mumkinmi, ya’ni aksiomalar sistemasi to’liq (mukammal)lik xossasiga bo’ysunadimi?
   

Geometriyani aksiomatik qurishdagi bu muhim savollarga XIX asrdagina
to’la javob topildi. Bu savolga javob berishda ulug’ rus matematigi N. I. Lobachevskiy ijodi va XIX sr olimlaridan E. Beltrami, A. Puankare, F. Kleyn tadqiqotlari hal qiluvchi rol o’ynadi. Aksiomalarning belgili sistemasi asosida olib boriladigan muhokamalarning zidlikka olib kelish – kelmasligi masalasini hal qilib berish uchun matematikada model (interpretatsiya, sharhlanish) g’oyasi ishlatiladi.
Ta’rif. Ma’lum obyektlarning biror to’plami aniqlangan bo’lib shu to’plam elementlari orasida asosiy munosabat (nisbatlar) saqlanib, unda aksiomalarning barcha shartlari bajarilsa, bu aksiomalar sistemasining modeli qurilgan deyiladi .
Misollar. 1. Butun sonlar to’plami qo’shish amaliga nisbatan guruppa tashkil qilgani uchun, bu to’plam guruppaviy aksiomalar sistemasining modeli bo’la oladi (bunda asosiy obyektlar butun sonlar bo’lib, asosiy munosabat qo’shish amalidir).
2. Tekislikdagi barcha geometrik vektorlar to’plami chiziqli fazo hosil qilgani uchun, u chiziqli fazo aksiomalari sistemasining modeli bo’la oladi ( bunda asosiy obyekt geometrik vektor bo’lib, asosiy nisbatlar vektorlar ustidagi chiziqli amallar – qo’shish, vektorli son(skalyar) ga ko’paytirishdir ).
Ta’rif. Aksiomalar sistemasidan bir – birini inkor qiladigan ikkita jumla mantiqan kelib chiqmasa, bu sistema zidsiz sistema deb ataladi. Aks holda aksiomalar sistemasi zidli sistema deyiladi.
Matematikada zidli sistema bilan ish ko’rilmaydi. Aksiomalar sistemasining zidsizligi qanday isbot qilinadi?
Aksiomalar sistemasining zidsizligi shu sistema modelining tanlab olinishi bilan hal qilinadi. Agar tekshiriladigan aksiomalar biror usul bilan hal qilinadi. Agar tekshiriladigan aksiomalar biror usul bilan modelda bajarilsa va bu model obyektlarining tabiatida zidlikning yo’qligiga ishonch hosil qilinsa unda bu aksiomalardan bir-birini mantiqan inkor etadigan ikkita jumla kelib chiqmasligi, ya’ni bitta faktni ham tasdiqlab, ham inkor etib bo’lmasligi ma’lum bo’ladi. Demak, biz yuqorida keltirgan aksiomamizda gruppaviy aksiomalar sistemasining va chiziqli fazo aksiomalari sistemasining va chiziqli fazo aksiomalari sistemasining zidsiz ekanini ko’rsatadi.
Aksiomatik metod — aksiomalarga asoslanib ilmiy nazariya qurish usuli. Asos qilib olingan aksiomalar tizimi (aksiomatika) muayyan nazariy tizimda isbotsiz haqiqiy deb qabul qilinadi. Boshqa nazariy bilimlar, xulosalar toʻla ravishda aksiomatikadan deduktiv yoʻl bilan chiqariladi. Yangi tushunchalar nazariyaga formal taʼriflash yoʻli bilan kiritiladi. Aksiomalar tizimi ziddiyatsizlik, toʻlalik va bogʻliqsizlik shartlarini qanoatlantirishi lozim. Bitta ilmiy nazariyani turli aksiomalar tizimiga asoslanib ham qurish mumkin. Masalan, haqiqiy sonlar nazariyasining turli qurish usullari mavjud. Matematikada aksioma qadimgi yunon geometriklari asarlarida shakllana boshlagan. Evklidning „Negizlar“ (mil. av. 300-yillar) asarida bayon etilgan geometrik sistema Aksioma bilan nazariya qurish na’munasidir. 19-asr ikkinchi yarmidan matematikaning turli sohalari Aksioma bilan qurila boshlandi (turli geometriyalar, arifmetika, ehtimollar nazariyasi va boshqalar). Aksiomaning keyingi taraqqiyoti, mukammalashuvi D. Gilbert kiritgan formal sistema va formalizm metodi bilan bogʻliq. Qadimda fanlar, shu jumladan falsafaning turli bo’limlarini aksiomalar tarzida bayon qilishga urinib koʻrilgan (Nyuton, Spinoza, Forobiy va boshqalar).