Общая характеристика работы Актуальность работы

была наименьшей при условии, что выполняются соотношения (40) – (41) и ограничение


. (43)


Теорема. Пусть множество задано соотношением


почти всюду на ,


а – решение задачи (40), (41). Если функционал цели задан соотношением (42), то существует, по крайней мере, одно оптимальное управление , удовлетворяющее условию (43).
Прямая и сопряженная задачи теплопроводности решались методом граничных элементов (МГЭ). Предварительно алгоритм и программа тестировались на известных результатах, полученных А.И. Уздалевым методом возмущений для двух видов двухсвязных областей с криволинейной границей. Для симметричных областей получено полное совпадение, для несимметричных – расхождение не превышает 1%.
Достоверность результатов, получаемых для задачи оптимизации тонкого слоя термоизоляции, подтверждается совпадением результатов одного из вариантов расчетов для односвязной области как по достигнутому уменьшению потерь тепла, так и по распределению толщины слоя термоизоляции с результатами R.A. Meric.
В качестве примеров оптимизации рассматривались задачи для двусвязных областей с различным расположением полости внутри области и различной формой этой полости. На внутренней границе задана температура , а на внешней границе смешанное условие . На рис. 2 показано распределение толщины термоизоляции для двусвязной области при заданном расположении отверстия, при котором было получено наибольшее, на 22,7%, снижение потерь тепла по сравнению с равномерно распределенным слоем изоляции. При других рассмотренных формах отверстия и другом его местоположении выигрыш составлял от 3,1% (квадрат в центре) до 22,1% (узкая щель вблизи внешней границы).
Пусть имеется плоское двусвязное изотропное тело, занимающее область , которое окружает со всех сторон область . Требуется минимизировать потери тепла с поверхности тела через слой однородной изоляции, занимающей область и ограниченную с другой стороны границей , которая заранее неизвестна.
На границе задана температура (условие Дирихле), на – тепловой поток (условие Неймана), а на границе линейная связь потока и температуры. Тепло отводится, таким образом, через поверхность .


, , , . (44)


Задача оптимизации теперь состоит в отыскании такой границы и (или) такого положения точек , которые доставляют функции цели


(45)


минимум при условии, что выполняются соотношения (40), (44) и ограничение .
Для этой задачи приведено доказательство существования оптимальной границы на множестве , где – есть множество замкнутых контуров в области , удовлетворяющих следующим условиям:
а) – невырожденная простая замкнутая кривая, имеющая конечную длину;
б) может быть задана в параметрическом виде:

в) функции , существует константа , такая, что и ;

г) существует константа , такая, что ;
д) выполняется неравенство .
Там же получено выражение для производной функционала (45):


, (46)

где и – реальные поля и и – сопряженные поля, удовлетворяющие уравнениям:

, в ,
, , , .

Показано, что лишь тогда, когда заданные температуры постоянны, критерий оптимальности принимает известный вид , то есть поток тепла на оптимизируемой границе для оптимального слоя термоизоляции должен быть постоянным на всей этой границе. В других случаях это условие может не выполняться.

В диссертации рассмотрено большое количество задач оптимизации внешней границы по критерию (45). Здесь приводятся результаты для трех из них.
Пусть внутренняя граница имеет форму квадрата, и ее расположение задано. Выполняются следующие граничные условия: на внешней границе задано значение температуры , а на внутренней .
Заметим, что после оптимизации значение потока тепла на оптимизируемой границе практически выравнивается.
Наибольший выигрыш был достигнут, когда отверстие находится в противоположном углу от заданной границы. Для данной задачи потери тепла уменьшились на 30,6%.
Если оптимизации подлежит вся внешняя граница, то, например, для области, когда малая щель расположена в непосредственной близости у одной из внешних границ, потери тепла из внутренней области уменьшились на 48,3% по сравнению с исходной формой.
Аналогичные задачи рассматривались и для других граничных условий. Выигрыш, однако, в этих задачах не превосходил 12%.
Кроме этих задач, получена оптимальная форма теплоприемника в замкнутом теплообменнике. Пусть требуется максимизировать тепловой поток с поверхности тела , который передается через среду, занимающую область , к поверхности .
Граница , которой ограничена область, теплоизолирована. Температурное поле внутри удовлетворяет однородному уравнению Лапласа. На границе задано распределение температуры, на границе – условие конвективного теплообмена:


.

Задача оптимизации состоит в определении формы границы , обеспечивающей максимальную передачу тепла с границы

при условии, что площадь области внутри контура неизменна и минимальное расстояние между точками границ , не меньше заданной величины.

Производная функционала получается из (46) и имеет вид


.

Здесь касательная составляющая потока на границе , которая в методе граничных элементов легко вычисляется через узловые значения температуры, кривизна границы. Сопряженные переменные и должны при этом удовлетворять следующей краевой задаче:

, в ,
, , .

Численное решение получено при , . Выигрыш от оптимизации – увеличение количества тепла, передаваемого к теплоприемнику, составил 21, 5%.

В четвертой главе рассмотрены задачи оптимизации формы стержней с начальными температурными напряжениями по критерию максимума крутильной жесткости.
Пусть поперечное сечение стержня занимает область из заданного семейства областей, ограниченную замкнутой поверхностью , которая состоит из регулярных поверхностей и , соединяющихся в точках . На этих поверхностях стержня заданы значения температуры поверхности на , и внешнего потока тепла на .
Эффективная крутильная жесткость может быть записана в виде


, (47)

где обозначено

функция напряжений Прандтля; поле температур в поперечном сечении стержня, которое определяется как решение соответствующей краевой задачи; термомеханические характеристики материала. Предполагается, что они не зависят от температуры. Здесь есть функция границы области и также подлежит варьированию при ее изменении.