Общая характеристика работы Актуальность работы

Апробация результатов работы. Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, докладывались на научных конференциях: 4 Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (Москва, ИПМ АН СССР, 1982), II Всесоюзной конференции «Численная реализация физико-механических задач прочности» (Горький, 1987), Int. Conf. «Optimization of Finite Element Approximations (St. Petersburg, Russia, 1995), ХVII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1996), «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (Воронеж, 2000), 19-й международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (С. Петербург, 2001), VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 22–28.08.2006); III Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006); IV Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007); систематически докладывались на научных семинарах госуниверситета и технического университета г. Саратова; применялись на договорных началах в НПО «ИСТОК» г. Фрязино, что отражено в совместных работах.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 43 научных работы, в том числе 12 работ в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и одна монография.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Общее количество страниц 381. Диссертация содержит 96 рисунков и 6 таблиц.


Краткое содержание работы
термоупругий алгоритм механический
Во введении представлен обзор основных работ по исследованию оптимальных форм конструкций и используемым методам оптимизации. Сформулированы цели исследования и положения, выносимые на защиту, дано краткое описание работы по главам.
В первой главе рассматриваются термодинамические основы термоупругости и приводятся основные уравнения механики и термодинамики необратимых процессов для деформируемого анизотропного тела, находящегося под действием температурных полей. Даются вариационные формулировки статической задачи термоупругости и приводится строгая формулировка этих задач в соответствующих пространствах.
Оптимизация формы области подразумевает поиск наилучшей в каком-либо смысле области последовательным перебором допустимых областей из некоторого заданного класса . Это тело претерпевает трансформацию за счет малых изменений границы в зависимости от параметра , которая осуществляется непрерывным образом и не вызывает при этом каких-либо напряжений. Полученную новую границу обозначим , а область .
Положение частиц в области при каждом значении параметра определяется функциями


. (1)

Эти функции будем называть законом трансформирования. Декартовы координаты – точки среды в ее начальном состоянии можно рассматривать как переменные, сопоставляемые этой точке. В этом состоянии им приписывается роль криволинейных координат.

По установившейся терминологии называют лагранжевыми или сопутствующими координатами, эйлеровыми координатами. Пусть имеется скалярная функция эйлеровых координат и параметра . По ней можно построить функцию лагранжевых координат . Определим «скорость» трансформирования объема и нормальную скорость преобразования поверхности следующим образом:


,

где координаты нормального вектора к поверхности . Таким образом, равна производной от перемещения точек области при постоянных лагранжевых координатах.

Далее вводится понятие полной производной . Она соответствует понятию полной вариации, широко используемому в теории упругости. Для функции теперь имеем


, (2)

где – обозначает производную по параметру при постоянных эйлеровых координатах. Эта производная соответствует понятию обычной или частной вариации функции.

При трансформации поверхности на каждом гладком куске поверхности введем систему криволинейных координат , так что пара ( заданное открытое подмножество). Полная производная при трансформировании поверхности имеет составляющие как по нормали, так и по касательным направлениям. Величина представляет скорость движения поверхности по частицам (при постоянных лагранжевых координатах ) и не зависит от способа параметризации поверхности. Для конструирования инвариантной производной на движущейся регулярной поверхности вводится производная , определяемая как производная на траектории движения нормальной к поверхности , то есть


, (3)

которая называется переносной производной.

Переносная производная произвольного пространственного поля , таким образом, определяется соотношением


. (4)

В общем случае для любого скалярного или векторного поля из (3) и (4) следует, что

. (5)

При математической постановке экстремальных задач термомеханики необходимо, в первую очередь, выбрать нужные критерии оптимизации (целевые функции) и виды ограничений. Для систем с распределенными параметрами в качестве таких критериев, как правило, принимается функционал (или множество функционалов – векторный критерий), который в интегральном смысле отражает цель оптимизации или вид ограничений.

Рассмотрены вопросы корректности выбора тех или иных наиболее часто используемых при оптимизации конструкций функционалов в задачах термоупругости. В частности, показано, что для задач термоупругости функционал податливости, который для изотермического случая имеет вид


, (6)

не является в общем случае мерой жесткости (минимума деформаций) и вместо него необходимо использовать функционал

. (7)

В заключение даны постановки наиболее типичных задач, сводящихся к задачам поиска наилучшей формы термоупругой области или ее подобластей.

Во второй главе на основании полученных результатов выводятся соотношения чувствительности, то есть зависимости исследуемых функционалов от изменения формы тела (проектной переменной), для различного вида функционалов.
В частности, получены выражения для производных от интегралов по области


, (8)

где , и по поверхности, ее ограничивающей

(9)

где сумма интегралов по движущимся регулярным поверхностям ; – гладкие части контуров, охватывающих , единичный вектор, который направлен по нормали к наружу от поверхности и лежащий в касательной плоскости к ; проекции скорости преобразования на вектор ; средняя кривизна поверхности.

Получено значение производной для поверхностного интеграла от потока некоторого заданного векторного поля


(10)

где направление внешней нормали к поверхности , которая также изменяется при изменении параметра . Эта производная для незамкнутой поверхности имеет вид

(11)

Для двумерных областей возникает необходимость вычисления производных от криволинейных интегралов

, (12)

где - гладкая кривая, положение которой в области зависит от параметра . Как и ранее, предполагаем, что движение пространственной кривой описывается некоторым вектором трансформации . Эта производная может быть записана в нескольких эквивалентных видах. Наиболее удобный из них для дальнейшего применения

, (13)

где вектор – единичный вектор, касательный к кривой; вектор скорости, который является составляющей перпендикулярной кривой .

Производная от функционала через подвижный плоский контур, где единичный вектор внешней нормали к контуру и , для незамкнутого контура определяется выражением


. (14)

Для использования выражений (9), (11), (13), (14) в конкретных задачах оптимизации при наличии дополнительных связей в виде дифференциальных уравнений состояния заметим, что функция , стоящая под знаком интеграла, зависит явно еще и от некоторой функции состояния , а также от градиента этой функции . Предполагается, что .

Рассмотрим функционал от поля , заданный на переменной области , , где . Используем выражение (8) для производной объемного интеграла при . Тогда, если обозначить , то , и, окончательно получаем


(15)
L , M , N . (16)

Если истинное поле переменной состояния соответствует экстремуму или точке стационарности функционала для фиксированной области , то в силу произвольности в области и на границах имеем в , на . В этом случае из равенства (15) следует

. (17)

Таким образом, производная становится выраженной в терминах граничных значений функции и нормальной составляющей вектора скорости преобразования области . Поэтому желательно, чтобы в качестве функционалов цели были использованы функционалы, стационарные на истинном решении задачи. Если это не так, то как мы увидим далее, такие функционалы всегда могут быть построены на основе слабой формулировки соответствующих дифференциальных задач.

Аналогичные выражения получены для производной объёмного функционала при наличии поверхности разрыва внутри фиксированной области в , которая составлена из двух переменных подобластей и , разделенных регулярной подвижной поверхностью . Изменение подобластей происходит в результате движения поверхности .
Выражение для первой производной суммы объёмного и поверхностного функционалов


. (18)

выводится в предположении, что функция задана на регулярных кусках независимыми выражениями. Для каждой регулярной части . Из соотношений (4) следует, что

. (19)

Используя соотношения (15) и (9), (19), получим

(20)
.

На регулярных поверхностях мы можем рассматривать как функцию независимых переменных . Тогда

. (21)
С учётом (21) преобразуем интеграл по от . Имеем теперь после применения теоремы Грина



(22)
.

Если поле доставляет стационарное значение функционалу при заданной (фиксированной) границе , то при должны выполняться следующие соотношения:

в ,
на , на

С учетом этого окончательно (22) принимает вид

. (23)

Полученные общие результаты применяются в последующих разделах к различным частным задачам механики. В частности, пусть требуется минимизировать полную энергию термоупругого тела

,

где – свободная энергия Гельмгольца, - плотность внутренней энергии и - плотность энтропии. В общем случае, когда изменением температурного поля , возникающим из-за трансформации области, пренебречь нельзя, производная функционала полной энергии определяется выражением

(24)

и сопряженное поле температуры , должно удовлетворять дополнительным связям в виде сопряжённой краевой задачи:

; (25)
на ; на ,

где энтропия. Уравнения (25) связывают значения переменной – сопряжённой температуры с энтропией и имеют вполне конкретную физическую интерпретацию. Если ввести потоки энтропии (энтропийные перемещения) согласно соотношениям , то уравнение (25) принимает вид

.

Таким образом, последние три слагаемых в (24) появляются за счет перераспределения энтропии в системе, которая изменяется за счет трансформирования формы тела.

Как уже отмечалось выше, для получения соотношений чувствительности естественным образом годятся функционалы цели, которые являются стационарными на допустимых полях функций состояния. Это, конечно, ограничивает круг рассматриваемых задач. Для исключения этого недостатка был использован новый принцип анализа чувствительности функционалов цели и ограничений, основанный на слабой формулировке задачи термоупругости.
Рассмотрим следующие функциональные пространства: пространство функций проектирования, включающих поля таких переменных, как геометрические переменные , характеризующие трансформацию области ; проектные нагрузки, такие как объемные силы , поверхностные нагрузки , объемные источники тепла и поверхностные потоки тепла ; а также внутренние начальные напряжения и деформации , начальные потоки тепла и градиенты температуры . К пространству функций проектирования относятся также подвижные контуры на границе, в которых происходит сопряжение различных типов граничных условий (граничное управление).
Пространство функций откликов включает переменные упругой и тепловой задач: смещения , деформации , упругие напряжения , температуру , градиенты температуры , температурные потоки и реакции поверхностных усилий, а также поверхностные потоки тепла.
Функциональное пространство неявно определяется пространством функций проектирования через уравнения равновесия, теплопроводности с соответствующими граничными условиями.
Функции отклика должны удовлетворять соотношениям Коши, уравнениям состояния и равновесия:


; (26)

где – тензоры начальных деформаций и напряжений;

(27)
на , на . (28)

Температурное поле удовлетворяет соотношениям:

, (29)
. (30)

Здесь , - векторы начальных температурных деформаций и потоков, полные потоки тепла, которые удовлетворяют следующей краевой задаче

, (31)
на , на . (32)

Пусть задан скалярный функционал (это может быть либо функционал цели, либо функционалы ограничений), зависящий как от механических, так и от температурных полей:

(33)
В этом функционале скалярные нелинейные функции. Основная трудность в вычислении состоит в определении производных от функций состояния . Эти производные неявно связаны со скоростью трансформации области посредством уравнений состояния (26) – (32). Для получения явной зависимости от скорости необходимо исключить зависимость от производных переменных состояния. Это осуществляется с помощью введения сопряженных переменных. Но в отличие от известного метода сопряженных переменных будем использовать слабую (вариационную) форму уравнений состояния, что дает определенные преимущества при применении численных методов решения.
Для получения выражения как через кинетические (температурные), так и силовые (тепловые) переменные использован функционал Ху-Васидзу для линейно-упругой структуры, подверженной нагреву, при наличии начальных напряжений и деформаций, который имеет вид


(34)

Для тепловой задачи (29) – (32) был построен функционал, аналогичный функционалу Ху-Васидзу, в котором в качестве независимых переменных приняты функции и :

(35)
Рассмотрим теперь упругое тело, подвергнутое действию двух независимых механических и тепловых нагрузок: реальных нагрузок и фиктивных сопряженных нагрузок . Взаимная энергия Ху-Васидзу есть разность между энергией от суммарного действия всех механических и тепловых нагрузок и суммы энергий реальных и сопряженных нагрузок, действующих отдельно

Такое же соотношение может быть записано для функционала . На полях реальной задачи для любых значений взаимная энергия может быть записана в более простой форме:

, (36)
(37)

Далее, так как , то можно записать и в виде

,

то

(38)

Сопряженные поля, отмеченные , должны при этом удовлетворять следующим соотношениям:

, ,
,
на , на .

Аналогичные соотношения для тепловой задачи определяются равенствами:

, ,
. (39)
на и на .
Как видно из (39), сопряженная задача становится связанной.
Заметим, что сами уравнения как прямых, так и сопряженных задач, должны удовлетворяться лишь в слабой форме как решения вариационных задач для функционалов и , полный вид которых здесь не приводится из-за громоздкости выражений.
В третьей главе полученные результаты применяются для оптимизации термоизоляции плоской области, когда отыскивается не только оптимальное распределение толщины теплоизолирующего слоя, но и граница его расположения. Пусть граница плоского изотропного твердого тела состоит из четырех частей: . На поверхности задана температура. На поверхности – нулевой поток тепла. На поверхностях и распределяются тонкие слои термоизоляции и, следовательно, граничное условие на этих поверхностях может быть задано в виде линейной комбинации температуры и потока тепла.
Отыскивается такое распределение неизвестной толщины на , чтобы суммарные потери тепла через поверхности были минимальными. Общая площадь изолирующего материала на задана.


в , (40)

с краевыми условиями

, , , , (41)

где и – искомая, а – заданная безразмерные толщины на границах соответственно.

Задача оптимизации теперь ставится таким образом: найти распределение – нормированной толщины изоляции на и положение точек , разделяющих границы , такие, чтобы функция цели


(42)