Олимпиадные работы по математике для IX класса Вариант 1 Задание 1

Вариант 2
Задание 1.
Найти все целочисленные решения уравнения
Задание 2.
Решить уравнение:
Задание 3.
Из двух городов, расстояние между которыми 1300 км выехали одновременно грузовой и легковой автомобили, причем скорость легкового автомобиля на 50 км/ч больше, чем скорость грузового автомобиля. Автомобили встретились через 13 ч. Если бы легковой автомобиль увеличил скорость на k процентов, а грузовой автомобиль уменьшил скорость на k процентов, то автомобили встретились бы через 10 ч. Найти k.
Задание 4.
Высоты треугольника равны соответственно 3 см, 4 см и 5 см. Какой это треугольник: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный. Ответ доказать.
Задание 5.
В треугольнике ABC биссектрисы углов A и C пересекаются в точке O. Величина угла AOC составляет 165°. Длина стороны AC, составляет 7 см. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Вариант 3
Задание 1
Решить уравнение

Задание 2
Найти все целые значения x, при которых тоже является целым числом.
Задание 3
Найти периметр остроугольного треугольника, если площадь этого треугольника равна , а для углов этого треугольника x,y,z выполняется условие
Задание 4
Треугольник ABC равнобедренный (AB=BC). На стороне [AB] взяли точку K так, что . Точка D- середина отрезка [AC]. Отрезки [CK] и [BD] пересекаются в точке M.
Обозначим . Написать квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого числа и являются корнями.
Задание 5
Самая длинная сторона треугольника равна 5 см, самая короткая равна 1 см. Какую наибольшую площадь может иметь такой треугольник.

Тесты
Математика 9 класс