Oliy taʼlim fan va innovatsiyalar vazirligi shahrisabz davlat pedagogika instituti pedagogika fakulteti

II.BOB. Makloren formulasi.
2.1. Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi. Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi.
Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra, agar y=f(x) funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini ∆f( )=f` )∆+0(∆x), ya’ni
f(x)=f(x)+f`( )(x- )+0(x- )
ko‘rinishda yozish mumkin.
Boshqacha aytganda nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali
(x)=f( )+ (x- ) (1)
ko‘phad mavjud bo‘lib, x da f(x)= (x)+0(x- ) bo‘ladi. Shuningdek, bu ko‘phad ( )=f( ), P1( )=b=f`( ) shartlarni ham qanoatlantiradi.
Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar x= nuqtaning biror atrofida aniqlangan y=f(x) funksiya shu nuqtada f`(x), f``(x), ..., (x) hosilalarga ega bo‘lsa, u holda
f(x)= (x)+( (2)
shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo‘lmagan P<sub>n</sub>(x) ko‘phad mavjudmi?
Bunday ko‘phadni
(x)= , (3)
ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan <sub>, , ,</sub> ... , koeffitsientlarni topishda
(x )=f( ), (x )= f`( ), (x )=f``( ), ... , ( )= ( ), (4)
shartlardan foydalanamiz. Avva l (x ) ko‘phadning hosilalarini topamiz:
(x )= + 3 (x- )+ ... +n ,
(x )= + 3∙2 (x- )+ ... +n(n-1) ,
(x )= 3∙2∙1 + ... +n∙(n-1)(n-2) ,
........................................ ,
(x)=n∙(n-1)∙(n-2)∙ ... ∙2∙1 .
Yuqorida olingan tengliklar va (3) tenglikning har ikkala tomoniga x o‘rniga x₀ ni qo‘yib barcha b_0, b_{1 ,}b_2, ... ,b_n koeffitsientlar qiymatlarini topamiz:
( )=f( )= ,
( )=f`( )= ,
( )=f``( )= =2∙1 =2! ,
.................................... ,
P_n ^(n)( )= ( ) = n∙(n-1)∙ ... ∙2∙1 = n!
Bulardan = f( ) , = f`( ), = f``( ), ... , = ( ) hosil qilamiz. Topilgan natijalarni (3) qo‘yamiz va
(x )=f( ) + f`( ) (x- ) + f``( ) + ...
+ ( ) (5)
ko‘rinishda ko‘phadni hosil qilamiz. Bu ko‘phad Teylor ko‘phadi deb ataladi.
Teylor ko‘phadi (2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko‘phadi ayirmasini orqali belgilaymiz:
( ) =f(x)- (x) (4)
Shartlardan ( ) = ( ) = ... = ( =0 bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi (x)=( , ya’ni =0 ekanligini ko‘rsatamiz. Agar x ₀ bo‘lsa, ifodaning ko‘rinishdagi aniqmaslik ekanligini ko‘rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda
= = ... = = =
=
Demak, x ₀ da 0( ) o‘rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi: