Omonov sherozbek

Teorema 1.4.5 - O’zaro teng bo’lmagan to’rtta kesma uzunliklari, qaysiki, har biri qolgan uchtasiga uzunliklari yig’indisidan kichik bo’lgan, aylanaga ichki chizilgan turli to’rtburchaklarni tomonlari bo’lishi mumkin va bu to’rtburchaklar yuzalari o’zaro teng bo’ladi.
Natija. Ichki chizilgan to’rtburchakni yuzi, to’rtburchak tomonlari uzunliklarini simmetrik funktsiyasi bo’ladi.
Bu simmetrik funktsiyani umumiy ko’rinishi bizning eramizni VII asrlariga kelib, Hind matematigi Braxmagupta tomonidan topilgan.
II bob. To’rtburchak yuzasini xisoblash usuli.
2.1 -§ Braxmagupta teoremasi.
Teorema 2.1.1 - Agar ichki chizilgan to’rtburchak tomonlari a, b, c, d bo’lib, uning yarim perimetri S ga teng bo’lsa, bu to’rtburchakning yuzi K quyidagiga teng bo’ladi:

Bu teoremani isbotlash uchun trigonometriya metodlaridan foydalanamiz.
d F
a n c


E b 40-rasm.
Yuqoridagi 46-rasmdagidek to’rtburchak tomonlarini a, b, c, d lar bilan ikkita uchini E va F bilan hamda qolgan ikkita uchini tutashtiruvchi diogonalini n bilan belgilaymiz. Bizga ma’lumki,
cosF=-cosE va sinF=sinE

Kosinuslar teoremasiga ko’ra

a²+b²-2abcosE=n²=c²+d²-2cdcosF
bundan esa
2(ab+cd)cosE=a²+b²-c²-d² (2.1.1)
Ikkinchi tomondan

bundan esa
2(ab+cd)sinE=4 K (2.1.2)

Xosil bo’lgan (2.1.1) va (2.1.2) ifodalarni kvadratga ko’tarib, hadma – had qo’shsak, quyidagiga ega bo’lamiz:

4(ab+cd)²=(a²+b²-c²-d²)²+16K²

Demak,
16K²=(2ab+2cd)²-(a²+b²-c²-d²)²

Qisqa ko’paytirish formulasiga ko’ra

A²-B²=(A-B)(A+B)
quyidagiga ega bo’lamiz:




Bu yerda 2S=a+b+c+d. Bu natija esa teoremani isbotlaydi.
Teorema – 2.1.1. da d=0 desak, bizga ma’lum bo’lgan Geron formulasiga ega bo’lamiz, ya’ni

Bu formula Geron Aleksandr nomi bilan yuritilsada, Vander Varden Bella fikriga ko’ra bu formula Arximedga tegishli deb yozadi.

Braxmaguptani boshqa yangiliklari uchki chizilgan maxsus to’rtburchaklarga bag’ishlanadi.