Omonov sherozbek

Teorema – 1.4.1. (P.Varin’on). To’rtburchak tomonlari o’rtalarini ketma – ket tutashtirishdan xosil bo’lgan figura parallelogramm bo’lib, uni yuzi to’rtburchak yuzini yarmiga tengdir.
Isbot. Bizga ma’lumki, uchburchak tomonlarini o’rtalarini tutashtiruvchi kesma uchinchi tomonga parallel bo’lib, uzunligi uning yarmiga tengdir. Aytaylik, bizga ABCD to’rtburchak berilgan bo’lsin va bu to’rtburchakni AB, BC, CD ca DA tomonlarini o’rtalari mos ravishda P, Q, R va S nuqtalardan iborat bo’lsin.
A
A
Q
P S S C
P
B D D R
Q R R Q
D
C B 36-rasm.
35-rasm
Quyidagi ABD va CBD uchburchaklardan PS va QR lar diogonalga parallel ekanligini va ularning uzunligi ekanligini aniqlashimiz mumkin. Bundan esa PQRS to’rtburchakni parallelogramm ekanligi kelib chiqadi va bu parallelogrammni Varin’on parallelogrammi deb ham yuritiladi.
Endi uni yuzini hisoblaymiz:
S_PQRS=S_ABCD-S_PBQ-S_RDS-S_QCR-S_SAP=S_ABCD- S_ABC- S_CDA-
- S_BCD- S_DAB=S_ABCD- S_ABCD- S_ABCD= S_ABCD
Yuqorida isbot qilingan teoremamiz ikkinchi va uchinchi tip to’rtburchaklar uchun ham o’rinli ekanligini osongina ko’rsatish mumkin.
Parallelogrammni diogonallari o’zaro kesishadi va kesishish nuqtasida teng ikkiga bo’linganligi uchun PR va QS kesmalarni o’rtasi Varin’on parallelogrammini markazi bilan ustma – ust tushadi. Yuqoridagidek mulohaza bilan kesishuvchi to’rtburchak uchun quyidagi mulohazani keltirishimiz mumkin. AC va BD lar ABCD to’rtburchak uchun (quyidagi mulohazani) diogonal bo’lgani uchun AD va BC lar ABCD to’rtburchak uchun diogonal bo’ladi. Ikkinchi tomondan PR kesma yagona o’rta nuqtaga ega bo’lganligi uchun hosil qilingan Varin’on parallelogrammini markazi ABCD to’rtburchak uchun hosil qilingan Varin’on parallelogrammini markazi bilan ustma – ust tushadi, ya’ni quyidagi teorema o’rinlidir.