Omonov sherozbek

Teorema 1.2.6 - Trapetsiyaning o’rta chizig’i asoslariga parallel va ular yig’indisining yarmiga teng.
Isboti: Bizga ABCD trapetsiya berilgan bo’lsin (26-rasm).
B C

Q P P

A D E
26 – rasm

B uch va CD yon tomonning o’rtasi P nuqta orqali to’g’ri chiziq o’tkazamiz. U AD to’g’ri chiziqni biror E nuqtada kesib o’tadi.

Uchburchaklar tengligining ikkinchi alomati (agar bir uchburchakning bir tomoni va unga yopishgan burchaklari boshqa uchburchakning mos tomoni va unga yopishgan burchaklariga teng bo’lsa, bunday uchburchaklar teng bo’ladi) ga ko’ra PBC va PED uchburchaklar teng. Yasashga ko’ra ularda CP=DP, P uchidagi burchaklar vertikal burchaklar bo’lgani uchun teng, PCB va PDE burchaklar esa BC va AD parallel to’g’ri chiziqlar hamda CD kesuvchi hosil qilgan ichki almashinuvchi burchaklar bo’lgani uchun teng. Uchburchaklarning tengligidan tomonlar teng degan xulosaga kelamiz:
PB=PE, BC=ED
Demak, trapetsiyaning PQ o’rta chizig’i ABE uchburchakning o’rta chizig’i bo’ladi. Uchburchak o’rta chizig’ining xossasi (uchburchakning berilgan ikki tomoni o’rtalarini tutashtiruvchi o’rta chizig’i uning uchinchi tomoniga parallel va shu tomon yarmiga teng) ga ko’ra PQ AE va
PQ= AE= (AD+BC)
Teorema isbotlandi.
Masala: Teng yonli trapetsiyaning asoslaridagi burchaklari teng ekanini isbotlang.
Yechilishi: ABCD teng yonli trapetsiya bo’lsin (27-rasm). Trapetsiyaning CD asosidagi burchaklari teng ekanini isbotlaymiz.
B uchdan AD tomonga parallel to’g’ri chiziq o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziq CD nurni biror E nuqtada kesadi. ABED to’g’ri to’rtburchak parallelogrammdir. Parallelogrammning xossasiga ko’ra BE=AD. Shartga ko’ra AD=BC (trapetsiya teng yonli), demak, BCE uchburchak asosi EC bo’lgan teng yonli uchburchak. Uchburchakning va trapetsiyaning C uchdagi burchaklari ustma –ust tushadi, E va D uchlardagi burchaklar esa parallel to’g’ri chiziqlarni kesuvchi kesgandagi mos burchaklar sifatida teng, shuning uchun ADC= BCD. Masala isbotlandi.
A B

D E C
27-rasm

Endi trapetsiyaning yuzini topish formulasini keltirib chiqaramiz.
ABCD – berilgan trapetsiya bo’lsin (28 – rasm).
F D C

A E B
28 – rasm

Trapetsiyaning AC diogonali uni ikkita uchburchakka ajratadi: ABC va CDA. Demak, trapetsiyaning yuzi shu uchburchaklar yuzlarining yig’indisiga teng. ABC uchburchakning yuzi AB CE ga, ACD uchburchakning yuzi DC AF ga teng. Bu uchburchaklarning CE va AF balandliklari AB va CD parallel to’g’ri chiziqlar orasidagi masofaga teng. Bu masofa trapetsiya balandligi deyiladi.

Shunday qilib, trapetsiyaning yuzi asoslari yig’indisining yarmi bilan balandligi ko’paytmasiga teng.
S=
O’rta chizig’i yuqorida aytganimizdek:
B C

F K
m

A D