Omonov sherozbek

Teorema 1.2.3. – Parallelogrammning qarama – qarshi tomonlari teng, qarama – qarshi burchaklari teng.
Isboti. Bizga ABCD parallelogramm berilgan bo’lsin (13-rasm).


A B

D C
13 – rasm

Parallelogrammning AC va DB diogonallarini o’tkazamiz. O – ularning ya’ni diogonallarning kesishish nuqtasi bo’lsin.

AOB va COD uchburchaklarning tengligidan qarama – qarshi AB va CD tomonlarining tengligi kelib chiqadi. Bu uchburchaklarning O uchidagi burchaklari vertikal burchaklar bo’lgani uchun teng, parallelogrammning xossasiga ko’ra OA=OC va OB=OD. Xuddi shunga o’xshash, AOD va COB uchburchaklarning tengligidan qarama – qarshi tomonlarning ikkinchi jufti – AD va BC tomonlarning tengligi kelib chiqadi.
ABC va CDA uchburchaklarning (uch tomoniga asosan) tengligidan ABC va CDA qarama – qarshi burchaklarning tengligi kelib chiqadi. Ularda isbotlanganiga ko’ra AB=CD va BC=DA, AC – tomon esa umumiy. Xuddi shunga o’xshash, BCD va DAB uchburchaklarning tengligidan qarama – qarshi BCD va DAB burchaklarning tengligi kelib chiqadi. Teorema to’liq isbotlandi.
Masala: Agar to’rtburchakning ikki tomoni parallel va teng bo’lsa, uning parallelogramm ekanini isbotlang.
Yechilishi: ABCD – berilgan to’rtburchak bo’lib, uning AB va CD tomonlari parallel va teng bo’lsin (14-rasm). B uch orqali AD tomonga parallel b to’g’ri chiziqni o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziq DC to’g’ri chiziqni C₁ nuqtada kesib o’tadi. ABC₁D to’rtburchak parallelogrammdir. Parallelogrammning qarama-qarshi tomonlari teng, demak C₁D=AB. Shartga ko’ra esa AB=CD. Demak, DC=DC₁. Bundan C va C₁ nuqtalarning ustma-ust tushishi kelib chiqadi.
Shunday qilib, ABCD to’rtburchak ABC₁D parallelogramm bilan ustma-ust tushadi, demak, u parallelogrammdir.


A B

b

D C₁ C
14-rasm

Bizga ABCD parallelogramm berilgan bo’lsin. Agar u to’g’ri to’rtburchak bo’lmasa, uning burchaklaridan biri – A yoki B burchagi o’tkir bo’ladi. Quyidagi 15 – rasmda tasvirlanganidek, A burchagi o’tkir bo’lsin.

A B



E D F C
15 – rasm

A uchidan CD to’g’ri chiziqqa AE perpendikulyar tushiramiz. ABCE trapetsiyaning yuzi ABCD parallelogramm va ADE uchburchak yuzlarining yig’indisiga teng.

B uchdan CD to’g’ri chiziqqa BF perpendikulyarni tushiramiz. U xolda, ABCE trapetsiyaning yuzi ABFE to’g’ri burchak bilan BCE uchburchak yuzlarining yig’indisiga teng bo’ladi.
ADE va ACF to’g’ri burchakli uchburchaklar teng, demak bu uchburchaklar teng yuzlarga ega. Bundan ABCD parallelogrammning yuzi ABFE to’g’ri to’rtburchakning yuziga, ya’ni AB-BF ga teng degan xulosaga kelamiz. BF kesmani parallelogrammning AB va CD tomonlariga mos balandligi deyiladi.
Shunday qilib, parallelogrammning yuzi uning tomoni shu tomonga tushirilgan balandligi ko’paytmasiga teng.