Omonov sherozbek

Parallelogramm - Qarama-qarshi tomonlari parallel bo’lgan, ya’ni parallel to’g’ri chiziqlarda yotadigan to’rtburchak parallelogramm deb yuritiladi (9-rasm).
B C
A D
9– rasm


Teorema 1.2.1. - Agar to’rtburchakning diogonallari kesishsa va kesishish nuqtasida teng ikkiga bo’linsa, bu to’rtburchak parallelogrammdir.
Isboti: ABCD – berilgan to’rtburchak va O – uning diogonallari kesishgan nuqta bo’lsin (10-rasm).


A B

D C
10 – rasm

AOD va COB uchburchaklar teng. Ularning O uchidagi burchaklari vertikal burchaklar bo’lgani uchun teng, teorema shartiga ko’ra esa OB=OD va OA=OC.

Demak, OBC va ODA burchaklar teng. Bu burchaklar AD va BC to’g’ri chiziqlar hamda BD kesuvchi hosil qilgan ichki almashinuvchi burchaklar. To’g’ri chiziqlarning parallelligi alomatiga ko’ra AD va BC to’g’ri chiziqlar parallel bo’ladi. AB va CD to’g’ri chiziqlarning parallelligi ham AOB va COD uchburchaklarning tengligiga asosan isbotlanadi.
To’rtburchakning qarama-qarshi bo’lgan tomonlari parallel bo’lgani uchun ta’rifga ko’ra bu to’rtburchak parallelogrammdir. Shu bilan, to’rtburchakning diogonallari kesishsa va kesishish nuqtasida teng ikkiga bo’linsa, bu to’rtburchak parallelogramm ekanligi isbotlandi.
Endi parallelogramm diogonallarining xossasi haqidagi teoremani keltiramiz.
Teorema 1.2.2. (1.2.1. – teoremaga teskari). Parallelogrammning diogonallari kesishadi va kesishish nuqtasida teng ikkiga bo’linadi.
Isboti. ABCD – bizga berilgan parallelogramm bo’lsin (11-rasm). Uning BD diogonalini o’tkazamiz. Uning o’rtasini O bilan belgilaymiz va AB kesmaning davomiga AO ga teng bo’lgan OC₁ kesmani qo’yamiz.
C₁
B C
A D
11 – rasm

1.2.1. – teoremaga ko’ra ABC₁D to’rtburchak parallelogramm bo’ladi.

Demak, BC₁ to’g’ri chiziq AD to’g’ri chiziqqa parallel. Ammo B nuqta orqali AD to’g’ri chiziqqa bittagina parallel to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin. Demak, BC₁ to’g’ri chiziq bilan ustma – ust tushadi.
Xuddi shunga o’xshash, DC₁ to’g’ri chiziq AB to’g’ri chiziqqa parallel. Lekin D nuqta orqali AB to’g’ri chiziqqa bittagina parallel to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin. Demak, DC₁ to’g’ri chiziq DC to’g’ri chiziq bilan ustma – ust tushadi.
Demak, C₁ nuqta C nuqta bilan ustma – ust tushadi. ABCD parallelogramm ABC₁D parallelogramm bilan ustma – ust tushadi. Xulosa qilib shuni aytishimiz mumkinki, parallelogrammning diogonallari kesishadi va kesishish nuqtasida teng ikkiga bo’linadi. Teorema isbotlandi.
Masala: Paralllegramm diogonallarining kesishgan nuqtasi orqali to’g’ri chiziq o’tkazilgan. Shu to’g’ri chiziqning parallelogrammning parallel tomonlari orasidagi kesmasi bu nuqtada teng ikkiga bo’linishini isbotlang.


D F C

O

A E B
12-rasm
Yechilishi: ABCD – berilgan parallelogramm va EF esa AB va CD parallel tomonlarni kesuvchi to’g’ri chiziq bo’lsin (12-rasm). Uchburchaklar tengligining ikkinchi alomatiga ko’ra OAE va OCF uchburchaklar teng. Ularning OA va OC tomonlari teng, chunki O nuqta AC diogonalning o’rtasi O uchidagi burchaklar vertikal burchaklar bo’lgani uchun teng, EAO va FCO burchaklar esa AB va CD to’g’ri chiziqlar hamda AC kesuvchi hosil qilgan ichki almashinuvchi burchaklar bo’lgani uchun teng.
Uchburchaklarning tengligidan OE va OF tomonlarning tengligi kelib chiqadi. Shuni isbotlash talab qilingan edi.
Endi “Parallelogrammning qarama – qarshi yotgan tomonlari va burchaklari xossasi” haqidagi teoremaga to’xtalib o’tamiz.