Omonov sherozbek

Teorema 1.4.2 - Har qanday to’rtburchakni tomonlari o’rtalarini tutashtirishdan hosil qilingan o’rta diogonallar o’zaro konkurent bo’lib, ular o’zlarini teng ikkiga bo’ladi.
Endi quyidagi ba’zi masalalarni yechishda foydalaniladigan teoremani keltiramiz.
Teorema 1.4.3 - Agar bir diogonal to’rtburchakni yuzalari teng bo’lgan ikkita uchburchakka ajratsa, u xolda u ikkinchi diogonalni teng ikkiga bo’ladi va aksincha, agar bir diogonal ikkinchisini teng ikkiga bo’lsa, u xolda bu diogonal to’rtburchak yuzini teng ikkiga bo’ladi.
Teoremani isbot qilish uchun faraz qilaylik BD kesma ABCD to’rtburcakni yuzlariga teng bo’lgan DAB va BCD uchburchaklar bo’lsin.
A


F
B I D
C
36-rasm.

Bu uchburchaklarimiz bir xil BD asosga ega bo’lganligi uchun ular teng balandliklarga ega bo’lishadi, ya’ni = . Ikkinchi tomondan AHF va CIF uchburchaklar konkurentligidan biz = tengligiga ega bo’lamiz va aksincha, agar = ga teng bo’lsa, bu uchburchaklar konkurent bo’lib, = bundan esa

S_DAB=S_BCD
ekanligi kelib chiqadi.
Endi ushbu muhim teoremani isbotini keltirishimiz mumkin.
Teorema 1.4.4 - Agar ABCD to’rtburchakni qarama – qarshi tomonlari AD va BC biror W nuqtada kesishsa, (ular davom ettirilganda) X va Y lar AC va BD diogonallarni o’rtalari bo’lsa, u xolda quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:
S_WXY= S_ABCD
A


X D
P
Y R
B C W
37-rasm.
Berilgan to’rtburchakni AB va CD tomonlarini o’rtalarini P va R bilan belgilaymiz hamda PX, PY, RX, RY, RW kesmalarni xosil qilamiz. RY to’g’ri chizig’i BCD uchburchak tomonlari o’rtalarini tutashtirganligi uchun u BC tomonga parallel va DYWR to’rtburchakni DW diogonalini teng ikkiga bo’ladi. Bundan esa teorema – 3 ga asosan,
S_RYW=S_YRD= S_BCD
Huddi yuqoridagidek mulohazalar bilan quyidagiga ega bo’lamiz:
S_RWX= S_BCD
Endi ABCD to’rtburchak uchun Varin’on teoremasini qo’llasak:
S_RXY= S_PYRX= S_ABCD= S_CAB+ S_BDC= S_ABC- S_BCD
Yuqoridagi uchta ifodani hadma – had qo’shsak, quyidagiga ega bo’lamiz:
S_WXY=S_RXY+S_RYW+S_RWX= S_ABC- S_BCD+ S_BCD+
+ S_CDA= S_ABC+ S_CDA= S_ABCD
Misol. 1. Varin’on parallelogrammini perimetri to’rtburchak diogonallarini yig’indisiga teng ekanligini isbot qiling.
Yechish. Faraz qilaylik bizga Varin’on parallelogrammi berilgan bo’lsin.
A
S
P D
R

B Q C