Операции над множествами Определение

Упражнение 1.10.1. Показать, что
limx→21x=12limx→2⁡1x=12
Перефразируем определение 1.10.1, используя геометрическую интерпретацию и понятие проколотой окрестности точки x0x0.
Определение 1.10.2. Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена сама эта точка.
Если U(x0)−U(x0)− обозначение окрестности точки x0x0, то проколотую окрестность этой точки будем обозначать символом Uo(x0)Uo⁡(x0)
Введем в рассмотрение множества
UE(x0):=E∩U(x0)UE(x0):=E∩U(x0)
UEo(x0):=E∩Uo(x0)UEo(x0):=E∩Uo⁡(x0)
(знак :=, как всегда, заменяет слова "есть по определению"), которые будем называть, соответственно, окрестностью и проколотой окрестностью точки x0x0 в множестве EE.
Если x0−x0− предельная точка EE, то Uo(x0)≠∅Uo⁡(x0)≠∅, какова бы ни была окрестность U(x0)U(x0)
Введем еще символы
UδEo(x0)UEδo⁡(x0)
и VεR(A)VRε(A) для обозначения проколотой δδ -окрестности точки x0x0 в множестве EE и εε-окрестности точки AA в R.R. Тогда в определении 1.10.1 условие того, что AA есть предел функции f(x)f(x) при x→x0,x∈Ex→x0,x∈E можно записать в виде
В последней записи буквы εε и δδ можно опустить, так как из существования произвольной окрестности точки x0x0 следует существование симметричной δδ -окрестности. Теперь определение 1.10.1 можно переформулировать.
Определение 1.10.3. Предел
limx→x0x∈Ef(x)=Alimx→x0x∈E⁡f(x)=A
если выполнено условие
∀VR(A)∃UEo(x0)⇒f(UEo(x0))⊂VR(A)∀VR(A)∃UEo(x0)⇒f(UEo⁡(x0))⊂VR(A)
Пример 1.10.3. Показать, что функция
sgnx=⎧⎩⎨⎪⎪1,x>00,x=0,−1,x<0sgnx={1,x>00,x=0,−1,x<0
не имеет предела при x→0.x→0.
Решение. Легко видеть, что возможными значениями предела AA могут быть только числа −1,0,1−1,0,1, т.е. значения функции sgnx.sgnx. Действительно, если взять любое другое число в качестве AA(например, 2,5), то у этого числа всегда найдется окрестность VR(A)(VR(A)( для числа 2,5 это, например, окрестность (1,5;3,5))(1,5;3,5)), которая не содержит ни одного значения функции sgnxsgnx, и условие f(UEo(x0))⊂VR(A)f(UEo⁡(x0))⊂VR(A) не может быть выполнено ни для каких UEo(x0)UEo(x0).
Но это условие не может быть выполнено и для чисел {−1,0,1}.{−1,0,1}. Если, например, A=1A=1 и VR(1)=(0,5;1,5)VR(1)=(0,5;1,5), то sgn(UoE(0))={−1,1}sgn(UoE(0))={−1,1}, какова бы ни была проколотая окрестность UEo(0)UEo(0), таким образом, sgn(UoE(0))∉VR(1)=(0,5;1,5).sgn(UoE(0))∉VR(1)=(0,5;1,5). Рассуждая аналогично, получим, что числа {−1,0}{−1,0} также не могут быть пределом функции sgnxsgnx при x→0.x→0. Таким образом, никакое число не может быть пределом sgnxsgnx при x→0x→0: этот предел не существует.
Дадим другое определение предела функции (на "языке последовательностей" или иногда говорят −− "по Гейне").