Операции над множествами Определение

Определение 1.10.4. Число AA называется пределом функции f:E→Rf:E→R при xx, стремящемся к x0x0, если для любой числовой последовательности {xn},{xn},которая сходится к x0,xn∈E∖x0x0,xn∈E∖x0, выполняется условие
limn→∞f(xn)=Alimn→∞⁡f(xn)=A.
Теорема 1.10.1. Определение 1.10.1 и определение 1.10.4 предела функции эквивалентны.
Доказательство. Пусть функция ff имеет предел AA при x→x0x→x0 в смысле определения 1.10.1. Проверим выполнение определения 1.10.4. Зафиксируем последовательность {xn},xn→x0,xn∈E∖x0.{xn},xn→x0,xn∈E∖x0. Зададим ε>0ε>0 и подберем δ>0δ>0 так, как это сказано в первом определении. Затем подберем натуральное NN так, чтобы |xn−x0|<δ|xn−x0|<δ для n>Nn>N, но тогда |f(xn)−A|<ε|f(xn)−A|<ε для n>Nn>N, а это означает, что
limn→∞f(xn)=Alimn→∞⁡f(xn)=A
и определение 1.10.4 выполнено (ведь последовательность {xn}{xn} выбрана произвольно, лишь бы xn→x0,xn∈E∖x0xn→x0,xn∈E∖x0)
Обратно. Пусть функция ff имеет предел в смысле определения 1.10.4. Допустим, что при этом она не имеет предела в смысле определения 1.10.1, т.е. выполняется отрицание определения 1.10.1:
∃ε0>0∀δ>0∃x∈E⇒(0<|x−x0|<δ∧|f(x)−A|≥ε0)∃ε0>0∀δ>0∃x∈E⇒(0<|x−x0|<δ∧|f(x)−A|≥ε0)
Так как δ−δ− произвольное число, то пусть δ=1/k,k=1,2,….δ=1/k,k=1,2,…. Для каждого такого δ=1/kδ=1/k существует точка xk∈Exk∈E, для которой
0<|xk−x0|<1/k0<|xk−x0|<1/k
и
|f(xk)−A|≥ε0,k=1,2,…|f(xk)−A|≥ε0,k=1,2,…
Из этих соотношений видно, что xk→x0,xk∈E∖x0xk→x0,xk∈E∖x0, но
limk→∞f(xk)≠Alimk→∞⁡f(xk)≠A
а это противоречит тому, что определение 1.10.4 выполнено.

Общие свойства предела
Напомним некоторые определения, необходимые для того, чтобы сформулировать свойства предела функции.
Определение 1.10.5. Функцию f:E→Rf:E→R, принимающую только одно значение C, назовем постоянной. Функцию f:E→Rf:E→R назовем финально постоянной при x→x0,x∈Ex→x0,x∈E, если она постоянная в некоторой проколотой окрестности UE0(x0)UE0(x0) точки x0x0, предельной для множества E.E.