Операции над множествами Определение

Правило Лопиталя
2.7.1. Неопределенность вида 0000.  С помощью производных можно раскрывать неопределенности вида 0000 и ∞∞∞∞. Как мы видели раньше, другие типы неопределенностей сводятся к этим. Начнем со следующего утверждения.
Пусть функции ff и gg определены и дифференцируемы на интервале (a,b)(a,b) и точка x0∈(a,b)x0∈(a,b).
Теорема 2.7.1 (правило Лопиталя). Если f(x0)=g(x0)=0f(x0)=g(x0)=0, a g′(x)≠0g′(x)≠0, то
limx→x0f(x)g(x)=f′(x)g′(x)limx→x0⁡f(x)g(x)=f′(x)g′(x)
Обобщением теоремы 2.7.1 служит следующее утверждение.
Теорема 2.7.2 (правило Лопиталя). Пусть функции ff и gg дифференцируемы на интервале (a,b)(a,b) , пределы
limx→a+0f(x)=limx→a+0g(x)=0limx→a+0⁡f(x)=limx→a+0⁡g(x)=0
производная g′(x)≠0g′(x)≠0 для всех x∈(a,b)x∈(a,b) и существует конечный или определенного знака бесконечный предел
limx→a+0f′(x)g′(x)=Klimx→a+0⁡f′(x)g′(x)=K
Тогда существует предел
limx→a+0f(x)g(x)limx→a+0⁡f(x)g(x)
и он тоже равен KK, т.e.
limx→a+0f(x)g(x)=limx→a+0f′(x)g′(x)limx→a+0⁡f(x)g(x)=limx→a+0⁡f′(x)g′(x)
Доказательство. В силу условий теоремы, функции ff и gg не определены в точке a. Доопределим их, положив f(a)=g(a)=0.f(a)=g(a)=0. Теперь ff и gg непрерывны в точке aa и удовлетворяют условиям теоремы Коши (теорема 2.6.4) о среднем значении на любом отрезке [x,a],aПоэтому для каждого x,af(x)g(x)=f(x)−f(a)g(x)−g(a)=f′(c)g′(c)f(x)g(x)=f(x)−f(a)g(x)−g(a)=f′(c)g′(c)
причем limx→a+0c(x)=alimx→a+0⁡c(x)=a
Поэтому, если существует
limx→a+0f′(x)g′(x)=Klimx→a+0⁡f′(x)g′(x)=K
то существует
limx→a+0f(x)g(x)=Klimx→a+0⁡f(x)g(x)=K
В этих теоремах точка aa может принимать значение ±∞.±∞. Теорему 2.7.2 можно применять, последовательно вычисляя производные.
Пример 2.7.1. Найти предел limx→01−cosxx2limx→0⁡1−cos⁡xx2.
Решение. Имеем
limx→01−cosxx2=limx→0sinx2x=limx→0⁡1−cos⁡xx2=limx→0⁡sin⁡x2x=
=limx→0cosx2=12=limx→0⁡cos⁡x2=12
Может быть и такая ситуация: предел отношения производных не существует, а предел отношения функций существует.
Пример 2.7.2. Найти предел limx→∞x+sinxx+cosxlimx→∞⁡x+sin⁡xx+cos⁡x.
Решение. Очевидно,
limx→∞x+sinxx+cosx=1limx→∞⁡x+sin⁡xx+cos⁡x=1
limx→∞1+cosx1−sinxlimx→∞⁡1+cos⁡x1−sin⁡x
не существует.
Таким образом, нельзя утверждать (как часто говорят), что всегда предел отношения функций равен пределу отношения производных.