Операции над множествами Определение

Правило дифференцирования сложной функции

Теорема 2.4.1. Пусть функция y=f(x)y=f(x) дифференцируема в точке x0x0, а функция z=F(y)z=F(y) дифференцируема в точке y0=f(x0).y0=f(x0). Тогда сложая функция Φ(x)=F(f(x))Φ(x)=F(f(x)) также дифференцируема в точке x0x0, причем
Φ′(x0)=F′(y0)f′(x0)Φ′(x0)=F′(y0)f′(x0)
Доказательство. Отметим, что утверждение о существовании в точке x0x0 производной у сложной функции F(f(x))F(f(x)) содержит в себе утверждение о том, что эта функция определена в некоторой окрестности точки x0.x0. Действительно, из дифференцируемости функций y=f(x)y=f(x) и z=F(y)z=F(y) следует их непрерывность в окрестностях точек x0x0 и y0=f(x0)y0=f(x0) соответственно, а для непрерывных функций известно, что сложная функция определена в некоторой окрестности точки x0x0.
Положим Δx=x−x0Δx=x−x0 и Δy=y−y0.Δy=y−y0. Так как FF дифференцируема в точке x0x0, то
Δz=F′(y0)Δy+ε(Δy)ΔyΔz=F′(y0)Δy+ε(Δy)Δy
где limΔy→0ε(Δy)=0.limΔy→0⁡ε(Δy)=0. Доопределим функцию ε(Δy)ε(Δy) в нуле по непрерывности: ε(0)=0.ε(0)=0. Поделим полученное равенство на Δx≠0Δx≠0, получим
ΔzΔx=F′(y0)ΔyΔx+ε(Δy)ΔyΔxΔzΔx=F′(y0)ΔyΔx+ε(Δy)ΔyΔx
Функция y=f(x0)y=f(x0) дифференцируема в точке x0x0, поэтому
limΔx→0ΔyΔx=f′(x0)limΔx→0⁡ΔyΔx=f′(x0)
и, кроме того limΔx→0Δy=0limΔx→0⁡Δy=0, т.е. приращение ΔyΔy, рассматриваемое как функция от ΔxΔx, непрерывно в точке, поэтому
limΔx→0ε(Δy)=ε(limΔx→0Δy)=ε(0)=0limΔx→0⁡ε(Δy)=ε(limΔx→0⁡Δy)=ε(0)=0
Переходя к пределу в равенстве (2.4.1)(2.4.1) при Δx→0Δx→0 получим
z′(x0)=F′(y0)y′(x0)z′(x0)=F′(y0)y′(x0)
Замечание 2.4.1. Используя запись производной с помощью дифференциалов, формулу для вычисления производной сложной функции можно записать в виде:
Dz/dx=dz/dy⋅dy/dx

Производные высших порядков
Предположим, что функция ff имеет (конечную) производную f′f′ в каждой точке интервала (a,b).(a,b). Тогда эта производная снова является функцией, определенной на данном интервале, и для нее можно определить производную, которая называется производной второго порядка от первоначальной функции ff. Таким образом,
f′′(x)=(f′(x))′f′′(x)=(f′(x))′
В свою очередь, мы можем взять производную от второй производной, и т.д.