Операции над множествами Определение

Замечание 1.10.1. Иногда теорему 1.10.5 называют теоремой "о двух милиционерах" или теоремой "о зажатой" функции.

Геометрический смысл производной.
Найдем геометрический смысл производной. Построим график функции ff в окрестности точки (x0,f(x0))=M.(x0,f(x0))=M. Для произвольного приращения ΔxΔx рассмотрим точку N=(x0+Δx,f(x0+Δx))N=(x0+Δx,f(x0+Δx)), принадлежащую графику функции. Проведем через точки MM и NN секущую (рис. 2.2.1). Пусть теперь точка NN стремится к точке MM( т.е. Δx→0Δx→0).
Определение 2.2.1. Если секущая стремится занять определенное положение, то это предельное положение называется касательной к графику функции ff в точке x0x0 (рис. 2.2.2).
Теорема 2.2.1. Если функция ff является дифференцируемой в точке x0,x0, то в этой точке у функции ff существует касательная, причем уравнение касательной имеет вид
Y−f(x0)=f′(x0)(X−x0)Y−f(x0)=f′(x0)(X−x0)
Как известно, коэффициент f′(x0)f′(x0) в уравнении касательной равен тангенсу угла наклона касательной к оси OXOX Таким образом, производная функции в некоторой точке равна тангенсу угла между касательной в соответствующей точке графика функции и осью абсцисс.
Пример 2.2.1. Найти касательную к параболе y=x2y=x2 в точке (1,1)(1,1).
Решение. Производная y′=2xy′=2x и в точке x=1x=1 она равна 2. Искомая касательная тогда примет вид
y−1=2(x−1)y−1=2(x−1) или y=2x−1y=2x−1
Если функция ff дифференцируема в точке x0x0, то из формулы (2.1.2) получаем
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+o(x−x0),x→x0f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+o(x−x0),x→x0
и значит (обозначая ykas=f′(x0)(x−x0)+f(x0)ykas=f′(x0)(x−x0)+f(x0)), имеем
f(x)−ykas=o(x−x0),x→x0f(x)−ykas=o(x−x0),x→x0
Таким образом, касательная к графику функции обладает тем свойством, что разность ординат графика и этой касательной есть величина бесконечно малая более высокого порядка при x→x0x→x0 по сравнению с приращением аргумента.
Обратно: если существует невертикальная прямая
ynp=A(x−x0)+f(x0)ynp=A(x−x0)+f(x0)
 проходящая через точку (x0,f(x0))(x0,f(x0)) и такая, что


f(x)−ynp=o(x−x0),x→x0f(x)−ynp=o(x−x0),x→x0
то эта прямая является касательной к графику функции в точке (x0,f(x0))(x0,f(x0)).