Операции над множествами Определение

Упражнение 1.1.1. Доказать, что включения A⊂BA⊂B и B⊂AB⊂A выполняются одновременно тогда и только тогда, когда A=B

Свойства операций над множествами

1. Для любого множества MM выполняется включение M⊂MM⊂M (рефлексивность операции включения).
2. Для любого множества MM выполнено включение ∅⊂M∅⊂M.
3. Если MM и NN — два множества, для которых M⊂NM⊂N и N⊂MN⊂M, то M=NM=N (закон тождества).
4. Если для трех множеств M⊂NM⊂N, N⊂SN⊂S, то M⊂SM⊂S (транзитивность включения).
5. Для любых трех множеств (M∪N)∪S=M∪(N∪S)(M∪N)∪S=M∪(N∪S) (ассоциативность операции объединения). Точно такое же свойство справедливо и для операции пересечения.
6. Коммутативные законы для этих операций
M∩N=N∩MM∩N=N∩M, M∪N=N∪MM∪N=N∪M.
7. Дистрибутивные законы для объединения и пересечения
M∩(N∪S)=(M∪N)∩(M∪S)M∩(N∪S)=(M∪N)∩(M∪S), M∪(N∩S)=(M∩N)∪(M∩S)M∪(N∩S)=(M∩N)∪(M∩S)
8. Включение M⊂NM⊂Nимеет место тогда и только тогда, когда M∩N=MM∩N=M.
9. Включение M⊂NM⊂N имеет место тогда и только тогда, когда M∪N=NM∪N=N.
10. Законы двойственности:
C(M∪N)=CM∩CNC(M∪N)=CM∩CN, C(M∩N)=CM∪CNC(M∩N)=CM∪CN,
для любых множеств MM и NN.


Рациональные числа
Ранее уже рассматривалось множество
N={1,2,…}N={1,2,…}
всех натуральных, т.е. целых положительных чисел, а также множество Z={…,−2,−1,0,1,2,...}Z={…,−2,−1,0,1,2,...}целых чисел.
Определение 1.3.1. Числа вида ±pq±pq, где p≥0p≥0, q>0q>0 целые, называются рациональными. Множество таких чисел обозначается QQ.
Известно, как сравниваются рациональные числа (p1q1
 и как определяются четыре арифметических действия над ними.
В практических вычислениях вполне достаточно оперировать только рациональными числами. Но, например, для точного (теоретического) выражения длины гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными 1, рациональных чисел недостаточно. Другими словами, 2–√2 не есть рациональное число, что было известно еще Пифагору.