Операции над множествами Определение

Определение 1.7.4. Последовательность {xn}{xn}, не имеющая npeдeлa, наsывается растодящейся.
Приведем примеры.
Пример 1.7.1. Найти предел последовательности 1n.1n.
Решение. Предел
limn→∞1n=0limn→∞⁡1n=0, так как ∣∣1n−0∣∣=1n<ε|1n−0|=1n<ε при n>N≥[1ε]n>N≥[1ε]
Пример 1.7.2. Найти предел последовательности 12n12n.
Решение. Предел
limn→∞12n=0limn→∞⁡12n=0 так как ∣∣12n−0∣∣=12n<ε|12n−0|=12n<ε при n>N≥[lg1εlg2]n>N≥[lg⁡1εlg⁡2]
Пример 1.7.3. Найти предел последовательности sinnnsin⁡nn.
Решение. Покажем, что
limn→∞sinnn=0limn→∞⁡sin⁡nn=0, так как∣∣sinnn−0∣∣=∣∣sinnn∣∣≤1n<ε,|sin⁡nn−0|=|sin⁡nn|≤1n<ε,
при n>N≥[1ε]n>N≥[1ε]
Пример 1.7.4. Показать, что после{(−1)n}={−1,1,−1,…}{(−1)n}={−1,1,−1,…}не имеет предела, т.е. расходится.
Решение. Для установления этого факта перефразируем определение 1.7.2 (придадим ему геометрический смысл). Неравенство (1.7.1) запишем в виде
A−εт.е. элементы xnxn (при n>Nn>N) принадлежат промежутку (A−ε,A+ε)(A−ε,A+ε), который является εε-окрестностью точки AA. Так что, при ε<12ε<12 либо элементы последовательности с четными номерами (т.е. xn=1xn=1), либо элементы последовательности с нечетными номерами (т.е. xn=−1xn=−1) не могут лежать в ε−ε−окрестности любого числа AA.
Упражнение 1.7.1. Показать, что
limn→∞1qn=0,|q|>1limn→∞⁡1qn=0,|q|>1
Определение 1.7.5. Чuсло A∈RA∈R назыьается пределам числовой последовательности {xn}{xn}, если, какова бы ни была εε-oкрестносmь moчкu A,A,существует натуральное числоNN, такое чmo xn∈(A−ε,A+ε)xn∈(A−ε,A+ε) при n>Nn>N.
Другими словами, может быть только конечное число элементов последовательности {xn}{xn}, которые не принадлежат εε-окрестности точки AA.
Если заметить, что в любой окрестности V(A)V(A) точки AA содержится некоторая εε-окрестность этой же точки, то определение 1.7.5 можно переписать в логической символике следующим образом:
limn→∞xn=A:=∀V(A)limn→∞⁡xn=A:=∀V(A) ∃N∈N∃N∈N ∀n>N⇒xn∈V(A)