Операции над множествами Определение

Определение 1.4.2. Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным.
Определение 1.4.3. Элемент a∈Xa∈X называется наибольшим (или максимальным) элементом множества X⊂RX⊂R, если x≤ax≤a для любого элемента x∈Xx∈X (аналогично определяется наименьший (минимальный) элемент множества XX). В этом случае пишут a=maxX(a=minX)a=maxX(a=minX)
Пример 1.4.1. Найти минимальные и максимальные элементы множеств {3,8,9},[1,3],[1,3){3,8,9},[1,3],[1,3)
Решение.
1) X={3,8,9},X={3,8,9}, 3=minX;9=maxX3=minX;9=maxX;
2) X=[1,3]X=[1,3] , 1=minX;3=maxX1=minX;3=maxX;
3) X=[1,3)X=[1,3), 1=minX;1=minX; максимального элемента в этом множестве не существует.
Лемма 1.4.1. Если максимальный (минимальный) элемент существует, то он единственный.
Доказательство проведем от противного. Пусть a=maxX,b=maxXa=maxX,b=maxX и, например, aОпределение 1.4.4. Число c∈Rc∈R называется точной верхней границей множества X⊂RX⊂R, если выполнены следующие два условия:
1) любой элемент x∈Xx∈X удовлетворяет неравенству x≤cx≤c;
2) для любого ε>0ε>0 существует элемент x0∈Xx0∈Xтакой, что
c−εВ этом случае пишут S=supXS=supX( "супремум"XX)
Это определение говорит о том, что cc наименьшая из верхних границ.
Аналогично определяется точная нижняя граница s множества XX, которая обозначается s=infXs=infX ("инфимум" XX).
Пример 1.4.2. Найти точные нижние и точные верхние границы множеств [1,3),(1,3][1,3),(1,3].
Решение.
1) X=[1,3),1=infX,3=supX;X=[1,3),1=infX,3=supX;
2) X=(1,3],1=infX,3=supXX=(1,3],1=infX,3=supX.
Для неограниченных сверху множеств XX пишут supX=+∞supX=+∞, a для неограниченных снизу множеств XX пишут infX=−∞infX=−∞
Теорема 1.4.1. Всякое непустое ограниченное сверху множество X⊂RX⊂R имеет, и притом единственную, точную верхнюю границу.
Доказательство будет основано на свойстве непрерывности (теорема 1.3.3) множества действительных чисел.
Рассмотрим два случая.
1. Множество X−X− конечно. Тогда существует наибольший элемент x0x0 в XX. Очевидно, что x0=supXx0=supX, и в этом случае теорема доказана.
2. Множество X−X− бесконечно. Обозначим через YY множество всех верхних границ XX. Тогда YY не пусто и справедливо неравенство x≤yx≤y для всех x∈Xx∈X и для всех y∈Yy∈Y. По свойству непрерывности множества вещественных чисел (теорема 1.3.3) существует число cc являющееся сечением множеств XX и YY. Поскольку x≤cx≤c для всех x∈Xx∈X, то c−c− верхняя граница для XX. Поскольку c≤yc≤y для всех y∈Yy∈Y, то cc наименьшая из верхних границ..
Докажем единственность cc. Второе условие определения 1.4.4 можно сформулировать другими словами: число cc есть минимальный элемент множества верхних границ, т.е. c=minYc=minY, где Y−Y− множество верхних границ множества XX. По лемме 1.4.1 минимальный элемент единственный.