Операции над множествами Определение

Принцип Архимеда.

Теорема 1.4.2 (принцип Архимеда). Каково бы ни было число c>0c>0, существует натуральное. n>c.n>c.
Доказательство. Если c=α0,α1α2…c=α0,α1α2…, то в качестве nn можно взять
Следствие 1.4.1. Для любого ε>0ε>0 существует натуральное число nn, такое что 1n<ε1n<ε.
Доказательство. Пусть c=1εc=1ε, тогда, используя принцип Архимеда, находим n>c=1εn>c=1ε, т.е. 1εОпределение 1.7.1. Пусть каждому натуральному числу n=1,2,…n=1,2,…поставлено в соответствие в силу некоторого закона число xnxn. Тогда говорят, что этим определена последовательность чисел x1,x2,…,xn,…x1,x2,…,xn,… или последовательность {xn}{xn}. Числа xnxn называются элементами последовательности (членами последовательности).
Таким образом, последовательность — это некоторая функция
f:N→Rf:N→R. Примерами последовательностей служат выражения
{12n}={12,14,18,…}{12n}={12,14,18,…}
{(−1)n}={−1,1,−1,…}{(−1)n}={−1,1,−1,…}
Иногда будем говорить, что переменная xnxn пробегает последовательность {xn}{xn} или последовательность значений xnxn.
Определение 1.7.2. Число A∈RA∈R называется пределом числовой последовательности {xn}{xn}, если для любого положительного числа εε найдется натуральное число NN, такое что для всех натуральных n>Nn>N выполняется неравенство
|xn−A|<ε|xn−A|<ε (1.7.1)
При этом будем писать
limn→∞xn=Alimn→∞⁡xn=A
или
xn→Axn→A при n→∞n→∞
и говорить, что переменная xnxn стремится к A, или что последовательность {xn}{xn} сходится к числу AA при n→∞n→∞.
Определение 1.7.3. Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся.
Заметим, что эти обозначения уже частично использовались при формулировке принципа Кантора о вложенных отрезках (§ 1.5).
Запишем теперь определение предела в логической символике (знак: = заменяет слова "есть по определению"):
limn→∞xn=A:=∀ε>0∃N∈N∀n>N⇒|xn−A|<εlimn→∞⁡xn=A:=∀ε>0∃N∈N∀n>N⇒|xn−A|<ε