Операции над множествами Определение

Верхний и нижний пределы.
Пусть задана последовательность {xk}{xk}. Построим новую последовательность {an},an=infk≥nxk{an},an=infk≥n⁡xk, предполагая, что {xk}{xk} ограничена снизу. Ясно, что {an}{an} возрастает и, следовательно, limn→∞anlimn→∞⁡an есть либо конечное число, либо символ +∞.+∞.
Определение 1.9.3. Число ll (или символ +∞+∞) называется нижним пределом последовательности {xk}{xk}, если
l=limn→∞an=limn→∞infk≥nxkl=limn→∞⁡an=limn→∞⁡infk≥n⁡xk (limn→∞an=+∞)(limn→∞⁡an=+∞).
Для последовательности {xk}{xk}, неограниченной снизу, полагаем, что нижний предел равен −∞.−∞. Нижний предел обозначается символом
lim–––k→∞xklim_k→∞⁡xk
Аналогично, рассматривая последовательность bn=supk≥nxkbn=supk≥n⁡xk, определяем верхний предел
lim¯¯¯¯¯¯¯k→∞xklim¯k→∞⁡xk
последовательности {xk}.{xk}.
Приведем примеры.
Пример 1.9.2. Для последовательности xk=(−1)kxk=(−1)k найти верхний и нижний пределы.
Решение.
lim–––k→∞xk=limn→∞infk≥n(−1)k=limn→∞(−1)=−1lim_k→∞⁡xk=limn→∞⁡infk≥n⁡(−1)k=limn→∞⁡(−1)=−1
lim¯¯¯¯¯¯¯k→∞xk=limn→∞supk≥n(−1)k=limn→∞1=1lim¯k→∞⁡xk=limn→∞⁡supk≥n⁡(−1)k=limn→∞⁡1=1
Пример 1.9.3. Для последовательности xk=−k2xk=−k2 найти верхний и нижний пределы.
Решение.
lim–––k→∞(−k2)=−∞lim_k→∞⁡(−k2)=−∞,
lim¯¯¯¯¯¯¯k→∞(−k2)=limn→∞supk≥n(−k2)=limn→∞(−n2)=−∞lim¯k→∞⁡(−k2)=limn→∞⁡supk≥n⁡(−k2)=limn→∞⁡(−n2)=−∞
Пример 1.9.4. Для последовательности xk=1kxk=1k найти верхний и нижний пределы.
Решение.
lim–––k→∞1k=limn→∞infk≥n1k=limn→∞0=0lim_k→∞1k=limn→∞infk≥n1k=limn→∞0=0
lim¯¯¯¯¯¯¯k→∞1k=limn→∞supk≥n1k=limn→∞1n=0lim¯k→∞1k=limn→∞supk≥n1k=limn→∞1n=0
Определение 1.9.4. Число (или символ +∞+∞ или −∞−∞) называют частичным пределом последовательности, если в ней есть подпоследовательность, сходящаяся к этому числу (или символу +∞,−∞+∞,−∞)
Теорема 1.9.2. Нижний и верхний пределы последовательности являются, соответственно, наименьшим и наибольшим из ее частичных пределов. (При этом считаются принятыми естественные соотношения −∞ между символами −∞,+∞−∞,+∞и числами x∈Rx∈R)
Доказательство. Проведем его для нижнего предела и для случая, когда последовательность ограничена. Пусть
lim–––k→∞xk=alim_k→∞xk=a
(a−a− конечное число, так как {xk}−{xk}− ограниченная последовательность).
Сначала покажем, что a−a− частичный предел. Пусть an=infk≥nxk.an=infk≥nxk. Тогда для любого n∈Nn∈N, используя определение нижней грани, подберем числа kn∈Nkn∈N так, что an≤xkn≤an+1nan≤xkn≤an+1n и knЭто наименьший частичный предел, поскольку для любого ε>0ε>0 найдется n∈Nn∈N, такое, что a−ε0ε>0 имеем l≥a.l≥a.
Несколько удлинив рассуждения, можно доказать теорему 1.9.2 и для случая, когда последовательность неограничена.