Операции над множествами Определение

Определение 1.3.2. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная непериодическая дробь
a=±α0,α1α2α3…,a=±α0,α1α2α3…, (1.3.1)
где α0α0 целое неотрицательное число, αkαk (k=1,2,…)−(k=1,2,…)− цифры.
Определение 1.3.3. Рациональные и иррациональные числа называются действительными (или вещественными) числами, и их множество обозначается через RR.
Определение 1.3.4. Число aa, где не все αkαk равны нулю, называется положительным или отрицательным в зависимости от того, будет ли в (1.3.1) фигурировать (+) или (−). При этом (+), как обычно, будем опускать.
Действительные числа определены пока формально, так как надо определить еще арифметические операции над ними и ввести отношение порядка (<).

Определение неравенств (отношений порядка).
Пусть заданы два числа a=±α0,α1α2…,b=±β0,β1β2…a=±α0,α1α2…,b=±β0,β1β2…, определяемые бесконечными десятичными дробями.
Определение 1.3.5. Два числа а и в равны между собой тогда, когда их знаки одинаковы и αk=βkαk=βk для всех k=0,1,2,…k=0,1,2,…
Определение 1.3.6. Пусть aa и b−b− два положительных числа. Тогда будем говорить, что aa меньше bb, u писать a (или b>a)b>a), если найдется такой индекс ll, что αk=βk,αk=βk,k=0,1,…,l,k=0,1,…,l,а αl+1<βl+1αl+1<βl+1
Такой же принцип используется при введении знаков ′′>′′″>″ и для отрицательных чисел aa и bb. Заметим также, что положительное число aa всегда больше любого отрицательного b(a>b)b(a>b).
Определение 1.3.7. Для чисел а и bb неравенство a≤ba≤b означает, что либо a, либо a=ba=b. Неравенство a≥ba≥b эквивалентно неравенству b≤ab≤a
Например, 0≤0,0≤0,1≥0.
Ограниченные множества.
Определение 1.4.1. Говорят, что множество X⊂RX⊂R ограничено сверху, если существует число c∈Rc∈R такое, что x≤cx≤c для любого x∈Xx∈X. Число cc при этом называется верхней границей множества XX.
Аналогично определяются ограниченность множества снизу и нижняя граница множества XX