Операции над множествами Определение

Теорема 1.3.1. Число 2–√2 не является рациональным.
Доказательство. Пусть 2–√=p/q2=p/q, причем p/qp/q— несократимая дробь. Тогда p2=2q2p2=2q2, т.е. в разложении числа p2p2 на множители есть двойка. Это означает, что и в разложении числа pp на множители имеется двойка (p=2p1).(p=2p1).Тогда 22p21=2q222p12=2q2 или 2p21=q22p12=q2, что говорит уже о четности числа qq, т.е. pp и qq — четные числа, и дробь pqpqоказалась сократимой. □
Таким образом, имеется необходимость в "новых" числах, которые далее назовем иррациональными. Покажем, как можно ввести их при помощи бесконечных десятичных дробей.
Теорема 1.3.2. Каждой рациональной дроби соответствует конечная или бесконечная периодическая дробь. Каждой конечной или бесконечной периодической дроби соответствует рациональное число.
Доказательство. Пусть p/qp/q — произвольное положительное число. Поставим ему в соответствие десятичную периодическую дробь по правилам деления "уголком":
pq=α0,α1α2…pq=α0,α1α2…
где α0α0 — целое неотрицательное число, а αk(k=1,2,…)αk(k=1,2,…) — цифры. Ясно, что в результате указанного процесса может получиться десятичное разложение только одного из двух следующих типов. Либо это будет конечная десятичная дробь
pq=α0,α1α2…αm(αm>0)pq=α0,α1α2…αm(αm>0)
либо бесконечная, но в этом случае эта дробь будет обязательно периодической:
pq=α0,α1α2…αmβ1…βkβ1…βk…=α0,α1…αm(β1…βk)pq=α0,α1α2…αmβ1…βkβ1…βk…=α0,α1…αm(β1…βk)
т.е., начиная с некоторого разряда (m+1)(m+1), возникает некоторый период β1…βkβ1…βk, где не все цифры βjβj равны нулю. Периодичность дроби вытекает из того факта, что при делении "уголком" остатки bkСлучай конечной дроби всегда можно свести к случаю бесконечной периодической дроби, полагая
pq=α0,α1…αm−1αm=α0,α1…αm−1αm0…pq=α0,α1…αm−1αm=α0,α1…αm−1αm0…
С другой стороны, произвольной бесконечной периодической дроби соответствует единственное рациональное число p/qp/q, такое что процесс деления "уголком" дает именно это разложение. Произведем это сопоставление для простоты на примере:
0,5(4)=0,544…=0,5+4102+4103+⋯0,5(4)=0,544…=0,5+4102+4103+⋯
=12+4/1021−1/10=12+490=4990=12+4/1021−1/10=12+490=4990
Отрицательному рациональному числу −p/q−p/q приводят в соответствие бесконечное десятичное разложение, взятое со знаком (-)
Числу нуль естественно привести в соответствие разложение 0=0,000...0=0,000...
Следует отметить, что разным (на первый взгляд) бесконечным десятичным дробям может соответствовать одно число. Например, дробям 1,(0)1,(0)и 0,(9)0,(9) соответствует число 1.
Кроме периодических десятичных дробей существуют непериодические, например, 0, 1010010001...