Операции над множествами Определение

Следствие 1.9.1. Последовательность имеет предел или стремится к минус или плюс бесконечности в том и только в том случае, когда нижний и верхний пределы последовательности совпадают.
Доказательство. Приведем его для случая, когда все пределы конечны. Пусть
lim–––k→∞xk=lim¯¯¯¯¯¯¯k→∞xk=A∈R.lim_k→∞xk=lim¯k→∞xk=A∈R.
Поскольку
an=infk≥nxk≤xn≤supk≥nxk=bnan=infk≥nxk≤xn≤supk≥nxk=bn
т.е. an≤xn≤bn.an≤xn≤bn. Переходя в последнем неравенстве к пределу при n→∞n→∞, получим, что limn→∞xn=Alimn→∞xn=A.
Пусть теперь limn→∞xn=Alimn→∞xn=A Тогда любая подпоследовательность {xkn}{xkn}сходится к тому же числу AA, т.е. все частичные пределы равны AA, откуда и следует, что
lim–––k→∞xk=lim¯¯¯¯¯¯¯k→∞xk=Alim_k→∞xk=lim¯k→∞xk=A
Следствие 1.9.2. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится любая ее подпоследовательность.
Доказательство. Пусть сходится любая подпоследовательность {xkn}{xkn} последовательности {xk}.{xk}. Тогда сходится и сама последовательность {xk}{xk}, так как она одновременно является и подпоследовательностью.
Пусть теперь сходится последовательность {xk}.{xk}. Возьмем любую подпоследовательность {xkn}.{xkn}. Нижний и верхний пределы подпоследовательности {xkn}{xkn} заключены между нижним и верхним пределами последовательности {xk}.{xk}. Но эти последние пределы совпадают, значит, совпадают нижний и верхний пределы подпоследовательности, что обеспечивает сходимость {xkn}.

Понятие функции или отображения
Рассмотрим два непустых множества XX и YY.
Определение 1.6.1. Говорят, что задана функция ff, отображающая множество XX в множество YY, если каждому элементу x∈Xx∈X поставлен в соответствие (по определенному правилу) единственный элемент y∈Yy∈Y. Записывается это так:
f:X→Yf:X→Y
Наряду с термином "функция" употребляются термины "отображение", "соответствие", "преобразование", "морфизм", "оператор" и т.д.
Определение 1.6.2. Множество XX, на котором задана функция, называют областью определения функции, а множество всех элементов вида f(x)∈Yf(x)∈Y называют областью значений и обозначают f(X)f(X).Тогда f(X)⊂Yf(X)⊂Y