Операции над множествами Определение

Определение 2.5.1. В общем случае производная п-го порядка определяется индуктивно, т.е.
f(n)(x)=(f(n−1)(x))′f(n)(x)=(f(n−1)(x))′
Производную nn -го порядка обозначают также
f(n)(x)=dnfdxn(x)=Dnf(x)f(n)(x)=dnfdxn(x)=Dnf(x)
Пример 2.5.1. Найти производные функции y=xn,n∈Ny=xn,n∈N.
Решение. Имеем
y′=n⋅xn−1y′=n⋅xn−1, y′′=n(n−1)⋅xn−2y′′=n(n−1)⋅xn−2, y′′=n(n−1)⋅xn−2y′′=n(n−1)⋅xn−2, …., y(n)=n!y(n)=n!
Все дальнейшие производные этой функции равны нулю.
Если функция y=P(x)−y=P(x)− многочлен степени nn, то каждое дифференцирование понижает степень многочлена на 1. Тем самым производные порядка больше чем nn равны нулю.
Пример 2.5.2. Найти производные функции y=ax.y=ax.
Решение. Имеем
y′=axlnay′=axln⁡a, y′′=axln2ay′′=axln2a, …, y(n)=axlnnay(n)=axlnna
В частности, если y=exy=ex, то производная любого порядка этой функции также равна exex
Пример 2.5.3. Найти производные функции y=sinxy=sin⁡x.
Решение. Получаем
y′=cosx=sin(x+π/2)y′=cos⁡x=sin⁡(x+π/2), y′′=sinx=sin(x+2⋅π/2)y′′=sin⁡x=sin⁡(x+2⋅π/2).
Отсюда по индукции имеем, что
y(n)=sin(x+nπ/2)y(n)=sin⁡(x+nπ/2)
Упражнение 2.5.1. Показать, что для функции y=cosxy=cos⁡x
y(n)=cos(x+nπ/2)y(n)=cos⁡(x+nπ/2)
Упражнение 2.5.2. Найти производную nn -го порядка от функции y=ln(1+x)y=ln⁡(1+x). Определим теперь следующие классы функций: класс C1(a,b)C1(a,b) состоит из функций ff, заданных на интервале (a,b)(a,b), таких что они сами и их производные первого порядка f′−f′− непрерывны на (a,b)(a,b).
Аналогично, класс функций Cn(a,b)Cn(a,b) состоит из функций ff, определенных на интервале (a,b)(a,b), таких что они сами и все их производные до порядка nn включительно непрерывны на данном интервале. Для удобства полагают, что C0(a,b)=C(a,b)C0(a,b)=C(a,b), т.е. совпадает с классом всех непрерывных функций на (a,b).(a,b). Говорят также, что функция ff принадлежит классу C∞(a,b)C∞(a,b), если она имеет на интервале (a,b)(a,b) производные любого порядка.
Рассмотрим некоторые арифметические операции над производными nn -го порядка.
1. Если функции ff и gg имеют производные nn -го порядка в точке xx, то функции f±gf±g также имеют производные nn -го порядка в этой точке и
(f±g)(n)(x)=f(n)(x)±g(n)(x)(f±g)(n)(x)=f(n)(x)±g(n)(x)
2. Постоянный множитель можно выносить за знак nn -й производной, т.е.
(cf)(n)(x)=c⋅f(n)(x)(cf)(n)(x)=c⋅f(n)(x)
3. Если функции ff и gg имеют производные nn -го порядка в точке xx, то функция fgfg также имеет производную nn -го порядка в этой точке и справедливо правило Лейбница
(fg)(n)(x)=∑j=0nCjnf(n−j)(x)g(j)(x)(fg)(n)(x)=∑j=0nCnjf(n−j)(x)g(j)(x)
где, как обычно, Cjn−Cnj− биномиальные коэффициенты. Это формула напоминает формулу бинома Ньютона.
Доказательство свойств 1 и 2 следует непосредственно из определения производной, а свойство 3 получается методом полной математической индукции.