Операции над множествами Определение

Следствие 2.12.1. Пусть функция ff дважды дифференцируема на интервале (a,b).(a,b). Для того чтобы функция ff была выпукла вниз, необходимо и достаточно, чтобы f′′(x)≥0f′′(x)≥0 на (a,b)(a,b).
Пример 2.12.1. Исследовать на выпуклость функцию y=ax.y=ax.
Решение. Так как y′′=ax(ln2a)>0y′′=ax(ln2a)>0, то данная функция строго выпукла вниз на всей действительной оси.
Пример 2.12.2. исследовать на выпуклость функцию y=logax.y=logax.
Решение. Имеем y′′=−1x2lna.y′′=−1x2ln⁡a. Поэтому функция строго выпукла вниз при 01a>1 на всей области определения x>0.x>0.
Пример 2.12.3. Исследовать на выпуклость функцию y=sinxy=sin⁡x.
Решение. Поскольку y′′=−sinxy′′=−sin⁡x, то на интервалах (2kπ,(2k+1)π)(2kπ,(2k+1)π) функция выпукла вверх, а на интервалах (2k−1)π,2kπ)(2k−1)π,2kπ) функция выпукла вниз.
Теорема 2.12.2. Пусть функция ff дифференцируема на интервале (a,b).(a,b). Для того чтобы она была выпукла вверх на (a,b)(a,b) (соответственно, выпукла вниз на (a,b)(a,b)), необходимо и достаточно, чтобы касательная к графику функции в любой точке x0x0 из (a,b)(a,b) лежала выше графика функции на интервале (a,b)(a,b) (соответственно, лежала ниже графика этой функции).


Схема исследования функции
Изучение заданной функции и построение ее графика с помощью развитого аппарата целесообразно проводить по следующей схеме.
1. Определить область существования и область значений данной функции, исследовать поведение функции в граничных точках области определения.
2. Найти промежутки постоянства знака и нули функции, точки пересечения с осями координат.
3. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.
4.  Найти промежутки непрерывности, точки разрыва, виды точек разрыва и вертикальные асимптоты.
5. Найти наклонные асимптоты функции.
6. Вычислить первую производную функции, найти с ее помощью промежутки возрастания, убывания функции, точки экстремума и значения функции в точках экстремума.
7. Вычислить вторую производную, найти с ее помощью промежутки выпуклости функции, точки перегиба и значения функции в точках перегиба.
8. Построить график функции. 2.13.3. Пример исследования функции. Рассмотрим пример.