Операции над множествами Определение

Возрастание и убывание функций
Теорема 2.10.1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале(a,b)(a,b) функция f(x)f(x) возрастала (убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы во всех его точках производная была неотрицательной f′(x)≥0f′(x)≥0 (неположительной f′(x)≤0f′(x)≤0).
Доказательство. Рассмотрим случай возрастания функции. Случай убывания рассматривается аналогично.
Необходимость. Пусть ff возрастает на интервале (a,b)(a,b), тогда для фиксированной точки x0∈(a,b)x0∈(a,b) и любой точки xf(x)−f(x0)x−x0≥0f(x)−f(x0)x−x0≥0
Устремляя xx к x0x0, получим
limx→x0−0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0−0)≥0limx→x0−0⁡f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0−0)≥0
Рассмотрим точку x>x0x>x0, тогда из условия возрастания получим
f(x)−f(x0)x−x0≥0f(x)−f(x0)x−x0≥0
Устремляя xx к x0x0, имеем
limx→x0+0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0+0)≥0limx→x0+0⁡f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0+0)≥0
Поскольку, по условию теоремы, в точке x0x0 существует производная, то
f′(x0+0)=f′(x0−0)=f′(x0)≥0f′(x0+0)=f′(x0−0)=f′(x0)≥0
Достаточность. Пусть производная функции ff неотрицательна на интервале (a,b).(a,b). Рассмотрим две произвольные точки этого интервала af(x2)−f(x1)=f′(c)(x2−x1)f(x2)−f(x1)=f′(c)(x2−x1)
где точка cc лежит между x1x1 и x2.x2. Из условия имеем, что f′(c)≥0f′(c)≥0, а также, что x2−x1>0.x2−x1>0. Тогда f(x2)−f(x1)≥0f(x2)−f(x1)≥0, т.е. функция f−f− возрастающая на (a,b).(a,b).
Доказательство теоремы показывает, что справедливо утверждение.
Следствие 2.10.1. Если на интервале (a,b)(a,b) производная f′>0f′>0, то функция ff является строго возрастающей. Если на интервале (a,b)(a,b) производная f′<0f′<0, то функция ff строго убывающая.
Данное следствие не допускает обращения. Рассмотрим функцию y=x3.y=x3. Она является строго возрастающей на всей числовой прямой R.R. Ее производная
y=3x2≥0y=3x2≥0
и обращается в 0 в точке x=0x=0 (рис. 2.10.1).