Операции над множествами Определение

Определение 2.12.1. Пусть функция f(x)f(x) определена на интервале (a,b).(a,b). Она называется выпуклой вниз на интервале (a,b)(a,b), если для любых точек x1x1 и x2x2, a, и любых чисел α1≥0α1≥0 и α2≥0α2≥0 таких, что α1+α2=1α1+α2=1, выполняется неравенство
f(α1x1+α2x2)≤α1f(x1)+α2f(x2)f(α1x1+α2x2)≤α1f(x1)+α2f(x2) (2.12.1)
Если для функции ff справедливо обратное неравенство, то функция ff называется выпуклой вверх.
Если при x1≠x2,α1,α2≠0x1≠x2,α1,α2≠0 неравенство (2.12.1) является строгим, то функция ff называется строго выпуклой вниз (соответственно, вверх).
В некоторых учебниках функции выпуклые вниз (соответственно, выпуклые вверх) называют выпуклыми (соответственно, вогнутыми).
Определение 2.12.2. Всякий интервал, на котором функция выпукла вниз или вверх, называется интервалом выпуклости функции.
Очевидно, что функция f(x)f(x) выпукла вниз тогда и только тогда, когда функция −f(x)−−f(x)− выпукла вверх. Поэтому мы будем рассматривать, в основном, функции выпуклые вниз.
Геометрически условие выпуклости вниз означает, что точки дуги графика функции лежат под хордой, стягивающей эту дугу.
Сначала придадим неравенству (2.12.1) другой вид, более приспособленный для наших целей.
Из соотношений x=α1x1+α2x2,α1+α2=1x=α1x1+α2x2,α1+α2=1 имеем
α1=x2−xx2−x1,α2=x−x1x2−x1α1=x2−xx2−x1,α2=x−x1x2−x1
Поэтому (2.12.1) можно переписать в виде
f(x)≤x2−xx2−x1⋅f(x1)+x−x1x2−x1⋅f(x2)f(x)≤x2−xx2−x1⋅f(x1)+x−x1x2−x1⋅f(x2)
Учитывая, что x1≤x≤x2x1≤x≤x2 и x1(x2−x)f(x1)+(x1−x2)f(x)+(x−x1)f(x2)≥0(x2−x)f(x1)+(x1−x2)f(x)+(x−x1)f(x2)≥0
Замечая, что x2−x1=(x2−x)+(x−x1)x2−x1=(x2−x)+(x−x1), из последнего неравенства имеем
f(x)−f(x1)x−x1≤f(x2)−f(x)x2−x,x1,x2∈(a,b),x1Неравенство (2.12.2) эквивалентно условию выпуклости вниз.
Теорема 2.12.1. Пусть функция ff дифференцируема на интервале (a,b).(a,b). Для того чтобы ff была выпукла вниз на (a,b)(a,b), необходимо и достаточно, чтобы ее производная f′f′ была возрастающей на (a,b).(a,b).
Доказательство. Необходимость. Пусть функция выпукла вниз, тогда для нее выполнены неравенства (2.12.2). Устремляя в (2.12.2)xx последовательно к x1x1 и x2x2, получаем
f′(x1)≤f(x2)−f(x1)x2−x1≤f′(x2)f′(x1)≤f(x2)−f(x1)x2−x1≤f′(x2)
что означает монотонность производной.
Достаточность. Для af(x)−f(x1)x−x1=f′(c1),f(x2)−f(x)x2−x=f′(c2)f(x)−f(x1)x−x1=f′(c1),f(x2)−f(x)x2−x=f′(c2)
где x1Достаточность показывает, что если производная строго монотонна, то функция – строго выпукла. Но это условие не является необходимым для строгой выпуклости.
Функция y=x4y=x4 строго выпукла вниз на числовой прямой, но вторая производная y′′=12x2y′′=12x2 не является строго положительной на RR
Очевидным следствием теоремы 2.12 .1 и условия монотонности функции служит утверждение