O‛zb е kiston r е spublikasi oliy va o‛rta maxsus ta’lim vazirligi


Izoh: Berilgan tenglamaning (1) natural yechimlaridan boshqa yechimlari ham bo’lishi yoki bo’lmasligi masalasi ochiq qoladi. 2-masala


Download 1.23 Mb.
bet20/23
Sana09.02.2023
Hajmi1.23 Mb.
#1182986
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   23
Bog'liq
Olimpiada- 2011

Izoh: Berilgan tenglamaning (1) natural yechimlaridan boshqa yechimlari ham bo’lishi yoki bo’lmasligi masalasi ochiq qoladi.


2-masala. Agar 0≤x,y,z≤1 bo’lsa, unda ushbu tengsizlikni isbotlang:
.


2A-masala. Agar 0≤x,y≤1 bo’lsa, unda ushbu tengsizlikni isbotlang:
.
Isbot: Berilgan tengsiz x=1 yoki y=1 yoki x=1, y=1 uchun o’rinli va shu sababli kelgusida 0≤x,y<1 deb olishimiz mumkin. Berilgan tengsizlikning ikkala tomonidagi hadlar manfiymas bo’lgani uchun uning ikkala tomonini kvadratga oshirish mumkin:



. (*)
Bu yerda a=1–x>0, b=1–y>0 bo’lgani uchun tengsizlikdan foydalanish mumkin:
.
Demak, agar
(**)
tengsizlik isbotlansa, unda (*) tengsizlik ham isbotlangan bo’ladi. (**) tengsizlikni isbotlashu uchun belgilash kiritamiz:
4z2(3–4z)≤1=>16z3–12 z2+1≥0=>(2z–1)2(4z+1)≥0. (***)
z>0 holda (***) tengsizlik o’rinli. Demak, (**) tengsizlik ham o’rinli. Bu yerdan (*) tengsizlikning o’rinli ekanligi kelib chiqadi. (*) tengsizlikdan esa testda berilgan tengsizlik kelib chiqadi.


3-masala. Barcha hadlari natural sonlardan iborat a1, a2 , a3 , …, an , … va
b1, b2 , b3 , …, bn , … ikkita arifmetik progressiya berilagan. Bunda a1= b1 ekanligi ma’lum. Agar ixtiyoriy n soni uchun an va bn sonlari n ga bo’linganda bir xil
qoldiq bersa, unda bu progressiyalar ustma-ust tushishini isbotlang.
Isbot: Arifmetik progressiya hadlari formulasi va masalaning a1= b1 shartidan quyidagilarni olamiz:

Masala shartiga asosan ixtiyoriy natural n soni uchun an bn =nqn, qn- nomanfiy butun son. Oxirgi ikki natijadan quyidagi xulosa kelib chiqadi:

.
Masala shartiga asosan arifmetik progressiyalarning ayirmalari da va db nomanfiy butun sonlar bo’ladi. Shu sababli ularning ayirmasi da db =m butun va ixtiyoriy n natural soniga karrali son bo’ladi. Agar m≠0 desak, unda n>׀m׀ bo’lganda m soni n ga karrali bo’la olmaydi. Demak,
m=0 => da db=0 => da = db => an=a1+(n−1)da= a1+(n−1)db=bn .



Download 1.23 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   23




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling