O‛zb е kiston r е spublikasi oliy va o‛rta maxsus ta’lim vazirligi

Izoh: Berilgan tenglamaning (1) natural yechimlaridan boshqa yechimlari ham bo’lishi yoki bo’lmasligi masalasi ochiq qoladi.


2-masala. Agar 0≤x,y,z≤1 bo’lsa, unda ushbu tengsizlikni isbotlang:
.


2A-masala. Agar 0≤x,y≤1 bo’lsa, unda ushbu tengsizlikni isbotlang:
.
Isbot: Berilgan tengsiz x=1 yoki y=1 yoki x=1, y=1 uchun o’rinli va shu sababli kelgusida 0≤x,y<1 deb olishimiz mumkin. Berilgan tengsizlikning ikkala tomonidagi hadlar manfiymas bo’lgani uchun uning ikkala tomonini kvadratga oshirish mumkin:



. (*)
Bu yerda a=1–x>0, b=1–y>0 bo’lgani uchun tengsizlikdan foydalanish mumkin:
.
Demak, agar
(**)
tengsizlik isbotlansa, unda (*) tengsizlik ham isbotlangan bo’ladi. (**) tengsizlikni isbotlashu uchun belgilash kiritamiz:
4z²(3–4z)≤1=>16z³–12 z²+1≥0=>(2z–1)²(4z+1)≥0. (***)
z>0 holda (***) tengsizlik o’rinli. Demak, (**) tengsizlik ham o’rinli. Bu yerdan (*) tengsizlikning o’rinli ekanligi kelib chiqadi. (*) tengsizlikdan esa testda berilgan tengsizlik kelib chiqadi.


3-masala. Barcha hadlari natural sonlardan iborat a₁, a₂ , a₃ , …, a_n , … va
b₁, b₂ , b₃ , …, b_n , … ikkita arifmetik progressiya berilagan. Bunda a₁= b₁ ekanligi ma’lum. Agar ixtiyoriy n soni uchun a_n va b_n sonlari n ga bo’linganda bir xil
qoldiq bersa, unda bu progressiyalar ustma-ust tushishini isbotlang.
Isbot: Arifmetik progressiya hadlari formulasi va masalaning a₁= b₁ shartidan quyidagilarni olamiz:

Masala shartiga asosan ixtiyoriy natural n soni uchun a_n − b_n =nq_n, q_n- nomanfiy butun son. Oxirgi ikki natijadan quyidagi xulosa kelib chiqadi:

.
Masala shartiga asosan arifmetik progressiyalarning ayirmalari d_a va d_b nomanfiy butun sonlar bo’ladi. Shu sababli ularning ayirmasi d_a − d_b =m butun va ixtiyoriy n natural soniga karrali son bo’ladi. Agar m≠0 desak, unda n>׀m‌׀ bo’lganda m soni n ga karrali bo’la olmaydi. Demak,
m=0 => d_a − d_b=0 => d_a = d_b => a_n=a₁+(n−1)d_a= a₁+(n−1)d_b=b_n .