O‛zb е kiston r е spublikasi oliy va o‛rta maxsus ta’lim vazirligi

Javob: (x, y, z)=(2, 1, 1) .


Izoh: Agar testda sistemaning barcha butun yechimlarini topish talab etilsa, A) holda x=0, y+z=0 tengliklardan y=−z=m (m – ixtiyoriy butun) natijani olamiz.
Bu holda (x, y, z)=(0, m, −m) sistemaning butun yechimlari bo’ladi.
B) holda (x, y, z)=(−a, a, a) bo’lib, sistemaning II tenglamasidan
(−a)²=2(a+a) => a²=4a => a=0 yoki a=4
natijani olamiz. Demak, (x, y, z)=(0, 0, 0), (x, y, z)=(−4, 4, 4) ham sistemaning butun yechimlari bo’ladi.

40. Aylanaga tashqi chizilgan trapetsiyaning yon tomonlari va balandligining yig’indisa 8 ga teng. Bu trapetsiya yuzasi qabul qilishi mumkin bo’lgan eng katta qiymatini toping.

Javob: ………
Yechim: Bu trapetsiya asoslarini a va b, yon tomonlarini l₁ va l₂ , balandligini esa h deb belgilaymiz. Masala shartiga asosan l₁ + l₂ +h=8, aylanaga tashqi chizilgan trapetsiya xossasiga ko’ra l₁ + l₂ = a+b. Demak, l₁ + l₂ +h=a+b+h=8 => a+b=8−h . Bu holda S=(a+b)h/2=(8−h)h/2=(8h−h²)/2=[16−(h−4)²]/2≤16/2=8. Demak, trapetsiya balandligi h=4 bo’lganda trapetsiya yuzasi eng katta maxS=8 qiymatini qabul etadi.
Javob: 8 .
Matematika fanidan 2011 yil Buxoro viloyat olimpiadasi masalalari
va ularning ayrimlarining yechimlari


II bosqich


1-masala. , tenglamani natural sonlardagi ildizlarini toping.
Yechim: Berilgan tenglamadan quyidagi natijalarni olamiz:
.
Demak, berilgan tenglamaning natural yechimlari sifatida
(1)
sonlarni olish mumkin.
Bundan tashqari berilgan tenglamaning natural yechimlarini , ko’rinishda ham izlash mumkin. Bu holda


.
Demak,
(2)
natural sonlar ham berilgan tenglamaning ildizlari bo’ladi.
Agar (1) formulalarda m=k=2^p deb olsak, unda (2) natijalar kelib chiqadi. Demak, (2) yechimlar (1) yechimlarning xususiy hollari bo’ladi.