O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

bet	5/13
Sana	23.11.2020
Hajmi	1.47 Mb.
	#150444

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 13

Bog'liq
algebra va matematik analiz asoslari 2 qism i bob

Ì à s h q l à r

1.69. Quyidàgi funksiyalàrning õîssàlàrini tåkshiring và

gràfiklàrini yasàng:

1) y =

ctg2x; 2)

y

x

ctg 2

; 3)

y

x

= ctg

;

X

y = tgx

-p

Y

O

O

y = ctgx

3p X

Y

-p

-2p

I.35-rasm.

I.36-rasm.

35

A(0)

O E F

D

Q

B(a)

j

C(b)

R = OB = OA = 1

I.37-rasm.

4) y =

2ctgx;

5) y =

| ctg2x |;

y

x

;

7) y =

| tg2x |;

8)

y

tg2

;

9) y =

ctg| x |;

10)

y

x

;

11) y =

[ ctgx ];

12) y =

{ctgx};

13)

y

x

= tg

.

3-§. Qo‘shish fîrmulàlàri

1. Ikki burchàk àyirmàsining và yig‘indisining kîsinusi và

sinusi. Chizmàdà (I.37- ràsm) ÐBÎÀ = a, ÐCOA = b, j = b - a,

BD ^CE, CQ^OB, DE = BF, DB = EF = OF - OE = cosa - cosb,

QB = OB - OQ = 1 - cosj, CQ = sinj, CD = CE - BF = sinb -

-sina, CDB và CQB to‘g‘ri burchàkli uchburchàklàr umumiy

CB giðîtånuzàgà egà. Pifàgîr tåîråmàsi bo‘yichà:

BC

2

= CQ

2

+ QB

2

= CD

2

+ DB

yoki

sin

j + (1 - cosj)

2

= (sinb - sina)

2

+ (cosa - cosb)

,

sin

j + 1 - 2cosj + cos

j =

= sin

b - 2sinbsina + sin

a + cos

a - 2cosacosb + cos

b,

(sin

j + cos

j) + 1 - 2cosj = (sin

b + cos

b) + (cos

a + sin

a) -

- 2(sinasinb + cosacosb), 2 - 2sosj = 2 - 2(sinasinb -

-cosacosb)

yoki

cos(b - a) = cosacosb + sinasinb. (1)

(1) munîsàbàt bo‘yichà và funksiyalàrning õîssàlàridàn fîy-

dàlànib, yanà bîshqà fîrmulàlàrni tîpish mumkin:

cos(a + b) = cos(a - (-b)) =

= cosacos(-b) + sinasin(-b),

cos(a + b) = cosacosb - sinasinb. (2)

Õususàn:

à)

cos

cos cos

- a =

a +

sin sin

0 cos

a = ×

a +

1 sin

sin

+ ×

a =

a ,

cos

cos cos

sin sin

0 cos

1 sin

sin

+ a =

a -

a = ×

a - ×

a = -

a ;

cos

sin

- a =

a ; (3)

cos

sin

+ a = -

a . (4)

sin

cos

- a =

a ,

sin

cos

cos(

) cos

+ a =

-a =

a .

Dåmàk,

sin

cos

- a =

a ; (5)

sin

cos

+ a =

a. (6)

a ± b burchàk sinusi uchun fîrmulàlàr yuqîridà tîpilgàn

fîrmulàlàrdàn fîydàlànib chiqàrilàdi:

sin(

) cos

(

)

cos

cos(

) cos

sin

sin cos

cos sin

a + b =

- a + b =

- a - b =

- a

b +

- a

b =

b +

yoki

sin(a + b) = sinacosb + cosasinb. (7)

Àgàr (7) fîrmulàdàgi b o‘rnigà -b qo‘yilsà, nàtijàdà:

sin(a - b) = sinacosb - cosasinb. (8)

Ì i s î l . cos150° và sin150° ni tîpàmiz.

Y e c h i s h . (4) và (6) fîrmulàlàr bo‘yichà:

cos150° = cos(90° + 60°) = -sin60° =

3

2

;

sin150° = sin(90° + 60°) = cos60° =

2

.

Ì à s h q l à r

1.70. Hisîblàng: 1)

sin

; 2)

cos

; 3)

cos

; 4)

sin

37

1.71. Àgàr

sin x = ;

sin t = ;

<

<

x

;

< <

t

bo‘lsà,

quyidàgilàrni tîping:

1) sin(x - t);

2) sin(x + t);

3) cos(x - t); 4) cos(x + t).

1.72. Àgàr cosx = -0,8; siny = 0,4;

<

<

x

;

2

<

<

y

bo‘lsà, quyidàgilàrni tîping:

1) cos(x + y); 2) cos(x

- y); 3) sin(x + y); 4) sin(x - y).

1.73. Ifîdàlàrni sîddàlàshtiring:

1) cos(x + t)sin(x - t) + sin(x + t)cos(x - t);

2) cos(a + b)cos(a - b ) - sin(a + b)sin(a - b);

3) cos(45° + a)cos(45° - a) + sin(45° + a)sin(45° - a);

cos(

) sin sin

sin(

) sin cos

a b

- -

- +

;

sin(

)

sin cos

cos(

)

sin sin

b a

a b

+ -

+ +

;

cos(

) sin sin

cos(

) cos cos

a b

+ +

+ -

;

cos(

) sin sin

cos(

) cos cos

a b

- -

.

1.74. Àyniyatlàrni isbît qiling:

cos(45

)

(cos

sin )

- a =

a +

; 2)

cos(

)

sin sin

ctg ctg

a-b

a b + ;

3) sin(a - b)sin(a + b) = cos

b - cos

4) sin2x cosx

+ cos2x sinx = sin3x;

5) sin(a + b) + cos(a - b) = (sina + cosa)(sinb + cosb);

sin(

)

cos cos

sin(

)

cos cos

sin(

)

cos cos

a b

b g

g a

= 0

.

1.75. Funksiyalàrning juft-tîqligi và dàvriyligini tåkshiring

hàmdà gràfiklàrini yasàng:

2

2

cos cos

sin sin

x

x

y

x

x

; 2)

sin cos

x

x

y

x

x

.

2. Ikki burchàk yig‘indisi và àyirmàsining tàngånsi và

kîtàngånsi. 1-bànddàgi fîrmulàlàrdàn fîydàlànàmiz. Buning uchun

cos(a + b) ¹ 0, ya’ni

a + b ¹ + p , kÎZ và cosa ¹ 0, cosb ¹ 0

bo‘lishi, ya’ni a và b làr

+ p , kÎZ gà tång bo‘lmàsligi kåràk.

Shu shàrtlàrdàn quyidàgilàrgà egà bo‘làmiz:

sin

sin(

)

sin cos

cos sin

cos

cos(

)

cos cos

sin sin

sin

1 tg tg

sin

cos

tg(

)

a +

a+b

a+ b

a+b

- a b

a + b =

Bundàn:

1 tg tg

tg(

)

a+ b

- a b

a + b =

. (1)

Õuddi shundày,

tg

1 tg tg

tg(

)

a- b

+ a b

a - b =

. (2)

Quyidàgi fîrmulàlàr hàm shu kàbi hîsil qilinàdi:

ctg ctg 1

ctg

ctg(

)

a + b =

, (3)

ctg ctg 1

ctg

ctg(

)

a - b =

. (4)

Ì i s î l .

ctg

ni hisîblàymiz.

Y e c h i s h .

ctg ctg

1 1

3 3

1 3

3 3

1 3

ctg

× -

Ì à s h q l à r

1.76. Àgàr sin(2a + b) = 2sinb bo‘lsà, tg(a + b) = 3tga bo‘lishini

isbît qiling, bundà b ¹

kp, kÎZ.

1.77. (1)–(4) fîrmulàlàrning chàp qismlàrini uning o‘ng

qismlàridàn hîsil qiling.

1.78. Hisîblàng:

1) tg75°; 2)

12

ctg

; 3) ctg105°; 4) tg15°; 5) ctg15°.

1.79. Bårilgàn: 1) tgx

= 1,5, tgy = -0,5; 2) ctgx = 1,5, ctgy = -0,5.

Òîping: 1) tg(x - y); 2) tg(x + y); 3) ctg(x - y); 4) ctg(x + y).

1.80. Bårilgàn:

tga = ,

ctgb = , tg

g = . Hisîblàng:

1) tg(a + b + g); 2) ctg(a + b + g); 3) tg(a + b - g).

39

1.81. Hisîblàng: 1)

tg26 tg34

1 tg26 tg34

;

ñtg ctg

ctg

.

1.82. Àyniyatlàrni isbît qiling:

tg

tg

x

x

x

; 2)

(

)

ctg 1

ctg 1

ctg

x

x

x

; 3)

ctg2

ctg

-1

;

ctg

p a

+ ×

- -

+ +

= -

; 5)

(

)

ctg

a+b

a+ b

a ×

b -

= -

1.83. Ifîdàlàrni sîddàlàshtiring:

ctg(

) ctg

ctg

ctg(

)

a b

- ×

;

tg(

) tg

1+tg(

) tg

a b

- -

- ×

;

tg5

tg2

1 tg5 tg2

x

x

x

x

;

ctg5 ctg

ctg5

ctg

x

x

x

x

.

1.84. Ikki egri chiziq îràsidàgi burchàk shu chiziqlàrning kåsi-

shish (umumiy) nuqtàsidàn o‘tkàzilgàn ikki urinmà îràsidàgi

burchàkkà tång. Quyidà ko‘rsàtilgàn funksiyalàr gràfiklàri

îràsidàgi burchàk tàngånsini tîping:

1) y =

và

y

x

;

2)

y

x

và y =

x

;

3) y =

3x

2

+

4x - 6 và y = x

2

+

x + 3;

4) y =

và

y

x

= -

.

1.85. ABC uchburchàkdà tgA : tgB : tgC

= 1 : 2 : 3. Shu

burchàklàrning tàngånslàri và sinuslàrini tîping.

3. Kåltirish fîrmulàlàri. Îldingi bàndlàrdà p - a, p + a,

burchàklàr sinusi, kîsinusi, tàngånsi, kîtàngånsi uchun

fîrmulàlàr chiqàrilgàn edi. Ulàrdàn hàmdà ikki burchàk yig‘indisi

và àyirmàsi fîrmulàlàridàn fîydàlànib,

2

p

, 2p ± a burchàklàr

uchun fîrmulàlàrni chiqàrà îlàmiz. Bu fîrmulàlàr bir burchàk

funksiyasini bîshqà burchàk funksiyalàri îrqàli ifîdàlàshgà,

õususàn, o‘tmàs burchàk funksiyalàrini o‘tkir burchàk funksiya-

làrigà kåltirishgà imkîn båràdi. Ìàsàlàn,

2

2

cos

(

)

sin(

) sin

p + a =

+ p + a = -

p + a =

a . (1)

Shu kàbi,

(

)

sin

cos

p a

= -

; (2)

)

(

)

ctg

p a

= -

sin

cos

sin

; (3)

(

)

ctg

p a

= -

. (4)

Kåltirish fîrmulàlàri ko‘p, ulàrni esdà sàqlàsh màqsàdidà

ushbu mnåmînik qîidàdàn hàm fîydàlànàmiz (yunînchà

mnåmonikon – ko‘p qîidàlàr màjmuàsini yoddà sàqlàshni

yengillàshtiruvchi usul):

1) àgàr àrgumånt p ± a, 2p ± a ko‘rinishdà bo‘lsà, trigînî-

måtrik funksiyaning nîmi o‘zgàrmàydi;

2) àgàr àrgumånt

a

2

±

,

ko‘rinishdà bo‘lsà, funksiya-

ning nîmi o‘zgàràdi (sinus kîsinusgà và àksinchà, tàngåns

kîtàngånsgà và àksinchà);

3) bårilgàn trigînîmåtrik funksiya àrgumånti qàysi chîràkdà

yotgàn bo‘lsà, funksiyaning o‘shà chîràkdàgi ishîràsi izlànàyotgàn

funksiya îldigà qo‘yilàdi.

Kåltirish fîrmulàlàrini quyidàgi jàdvàl ko‘rinishidà umum-

làshtiràmiz:

sin

cos cos

sin

–sin

–cos –cos –sin

sin

cos

sin

–sin

–cos

–cos –sin

sin

cos

ctg

–ctg

–tg

ctg

–ctg

–tg

ctg

–tg

–ctg

ctg

–tg

–ctg

ctg

p - a p + a

2p - a 2p + a

Ì i s î l . à) cos(15p + a); b) tg(p + a) ifîdàlàrni o‘tkir

burchàk trigînîmåtrik funksiya ko‘rinishigà kåltiràmiz,

2

<

Y e c h i s h . a) cos( 7•2p + p + a) = cos(p + a). Bundà p + a

burchàk, dåmàk, 15p + a burchàk hàm, uchinchi chîràkkà

qàràshli. Bu chîràkdà kîsinusning ishîràsi mànfiy, hîsil

bo‘làdigàn funksiyaning nîmi kîsinusligichà qîlàdi. Dåmàk,

cos(15p + a) = - cosa;

b) uchinchi chîràkdà tàngåns musbàt. Nàtijàdà tg(p + a) = tga

hîsil bo‘làdi.

41

Ì à s h q l à r

1.86. Bir nåchà kåltirish fîrmulàsini gåîmåtrik usuldà isbît-

làng.

1.87. Ifîdàning qiymàtini tîping:

1 ) sin1080°;

2) cos1080°;

3) tg1080°;

4) ctg1080°;

5) 1080° li yoy sàhmini;

5

6

sin 7 p ;

(

)

cos -

p ; 8)

(

)

tg -

p ; 9)

ctg -

p .

1.88. Ifîdàlàrni sîddàlàshtiring:

( ) ( )

101

sin

cos

sin

cos

; 2)

tg

ctg

ctg

èç

ø÷

èç

ø÷

èç

ø÷

èç

ø÷

1.89. Àyniyatlàrni isbît qiling:

(

)

(

)

(

) ( )

2 sin

cos 16

1 tg (

)

(1 tg )(1 tg )

cos(

) 2cos

cos

p+a

p+b

p+a+b

a +

a-b +

;

sin

cos

2 (cos( 4

) sin )

(sin(5

) cos(9

))

+a +

p+a +

p + a +

p - a = - ;

(

)

sin 11

cos

tg( 11 )

ctg

x

x

x

x

x

x

x

- p

= -

Download 1.47 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 13